stima asintotica

stima asintotica

Due funzioni f(x) e g(x) sulla retta reale ℝ sono dette asintoticamente uguali per x→x₀ se in qualche intorno del punto x₀ (con l’eccezione di x₀ stesso) si ha f(x)=ε(x)g(x) con lim_x→x0ε(x)=1. Notiamo che il punto x₀ può essere sostituito da ±∞. In altri termini f(x) e g(x) sono asintoticamente uguali in x₀ se si ha f(x)=g(x)[1+o(1)] per x→x₀, dove il simbolo o(1) (detto o-piccolo di 1) indica una qualunque funzione tale che lim_x→x0o(1)=0. Non è difficile rendersi conto che la condizione precedente è equivalente all’uguaglianza lim_x→x00f(x)/g(x)=1 o, nell’ipotesi che g(x)≠0, a lim_x→x0[f(x)−g(x)]/g(x)=0. Quest’ultima versione evidenzia che due funzioni sono asintoticamente uguali (nel punto x₀) se l’errore relativo compiuto approssimando l’una con l’altra (nel punto x₀) tende a zero per x→x₀. Per questa ragione una funzione g si dice stima asintotica di una funzione f nel punto x₀ se è asintoticamente uguale in x₀ a f. Poiché l’uguaglianza asintotica (in un fissato punto x₀) definisce una relazione di equivalenza tra funzioni (indicata con il simbolo ∼), una stima asintotica di una funzione f (in x₀) è una qualunque funzione g tale che g∼f. Esempi di funzioni asintoticamente equivalenti (e dunque di funzioni che sono l’una stima asintotica dell’altra) in un punto x₀ sono le funzioni u(x), senu(x) e ln[1+u(x)], dove si assume lim_x→x0u(x)=0. Le definizioni sopra fornite di uguaglianza e stima asintotiche restano identiche per funzioni su un qualunque spazio topologico, in particolare sull’insieme dei numeri naturali ℕ. In questo caso, una funzione g si dice stima asintotica di una funzione f se lim_n→+∞ g(n)=f(n) e tutta la precedente discussione si applica ponendo x₀=+∞. Una celebre stima asintotica della funzione fattoriale f(n)=n!=n∙(n−1)....2∙1 è fornita dalla cosiddetta formula di Stirling n!∼√2πn(n/e)ⁿ (per n→+∞).

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