statistica (trasformazione di dati)

statistica (trasformazione di dati)

statistica (trasformazione di dati) Particolare modifica dei dati. Partendo da un qualunque campione statistico (X₁,...,X_n), si indichi con T=T(X₁,...,X_n) tale trasformazione. Un esempio di s. è la media campionaria X̄=n⁻¹Σⁿ_i=1X_n. Una s.T è detta stimatore (➔) se il suo scopo è quello di fornire una stima puntuale di un parametro (➔) o di un insieme di parametri di interesse. Una s. T è invece detta s. test se è utilizzata per la verifica di un’ipotesi s. (➔ ipotesi statistica). Così, la media campionaria è uno stimatore della media della popolazione μ, mentre la s. test √2n(X̄−μ₀) può essere usata per verificare l’ipotesi che μ=μ₀. Essendo un’arbitraria trasformazione del campione, una s. T può essere un numero, un vettore, o addirittura una funzione. Per es., dato un particolare campione (x₁,...,x₁₀)=(2,3,5,4,2,2,3,3,4,2), si ottiene il numero T(x₁,...,x₁₀)=3 se la s. è la media campionaria, T(X₁,...,X_n)=X̄. Se invece la s. è la coppia T(X₁,...,X_n)=(X̄,Σ_i(X_i−X̄)²/n) si ha, per lo stesso campione, il vettore T(x₁,...,x₁₀)=(3,1). Infine, la funzione di ripartizione empirica (➔ distribuzione empirica) è una statistica che a ogni campione di n osservazioni associa una funzione ‘a gradini’, come rappresentato in figura. Una s. T, in quanto funzione del campione X=(X₁,...,X_n), è essa stessa una variabile aleatoria (➔), un vettore (come per es. la s.T(X)=(X̄,Σ_i(X_i−X̄)²/n), o un processo aleatorio (➔), a seconda della natura di T.

Statistiche sufficienti

Dato un modello parametrico (➔ modello statistico) per la distribuzione dei dati X, nell’ambito del problema di stima puntuale del parametro θ (anche vettoriale) che indicizza il modello parametrico, si dice che una s. T(X) è sufficiente per θ se T racchiude tutta l’informazione contenuta nel campione circa il parametro oggetto di interesse. Formalmente, T è sufficiente per θ, se la funzione di verosimiglianza (➔ verosimiglianza) associata al modello può essere scomposta come L(θ;X)=g(T(X);θ)h(X), e quindi dipende dal parametro θ soltanto attraverso il termine g(T(X);θ). Intuitivamente, quando T(X) è nota, i dati non contengono informazione aggiuntiva circa θ.

Statistiche d’ordine

Sono chiamate statistiche d’ordine associate al campione (X₁,...,X_n), e sono indicate con (X₍₁₎,…,X_(n)), le n osservazioni campionarie ordinate in modo crescente, cioè tali che X₍₁₎≤X₍₂₎≤...≤X_(n). Si chiama rango di un elemento X_i di un campione non ordinato la sua posizione nel vettore delle statistiche ordinate. Così, se X_i=X₍₁₎, allora il rango r_i=r(X_i)=1, se X_i=X₍₂₎ allora r_i=2 e così via. Si può dire, in modo equivalente, che ogni X_i è l’analogo campionario dei quantili (➔ quantile) di ordine r_i/n, dove r_i/n è chiamato rango percentuale, oppure che le statistiche d’ordine sono l’analogo campionario dei quantili di ordine j/n, j=1,...,n.