spline

spline

spline funzione grafica basata sulla interpolazione polinomiale (→ interpolazione), presente nella maggior parte dei software applicativi destinati alla grafica computerizzata di tipo vettoriale, come il cad (Computer Aided Design, cioè «disegno assistito dal computer»). Il termine inglese spline sta a significare una striscia di metallo o di legno, perché originariamente la spline costituiva un particolare strumento di disegno formato da lunghe fettucce elastiche fissate ai nodi dell’interpolazione da grossi pesi. Quando è attivata la funzione spline, il computer unisce automaticamente i punti immessi in input dall’operatore usando un opportuno algoritmo di calcolo dei coefficienti del polinomio interpolatore. Esistono varie modalità di generazione delle spline, ma, contrariamente ai metodi numerici di Newton e di Lagrange, i cui polinomi hanno un grado che dipende dal numero dei poli considerati, esse utilizzano polinomi di grado p fissato per unire tutti gli n nodi, con p < n. Quindi una spline non genera un solo polinomio interpolatore, ma un insieme di polinomi che si raccordano tra loro, in modo tale che la funzione spline finale sia continua in tutti i nodi. Per esempio, si consideri una funzione spline di grado p = 3: essa genera un insieme di cubiche continue e derivabili due volte all’interno dell’intervallo di interpolazione; inoltre agli estremi dell’intervallo si richiede che la derivata seconda sia nulla, ossia che la funzione esca con andamento rettilineo al di fuori degli estremi dell’intervallo; in questo caso si parla di spline naturale. La spline ha la caratteristica di interpolare i punti in modo da non avere bruschi cambiamenti nella pendenza, ossia di essere molto smussata e liscia; infatti si dimostra che la funzione spline y = s(x) minimizza nell’intervallo di interpolazione [a, b] la quantità

che, geometricamente, può essere interpretata come la misura della curvatura media della spline. Dal punto di vista fisico la condizione precedente traduce la condizione di minimizzazione dell’energia elastica posseduta dalle fettucce metalliche appartenenti all’originario strumento di disegno.