spazio vettoriale topologico

spazio vettoriale topologico

Lo sviluppo di settori dell’analisi funzionale, quali per esempio la teoria delle distribuzioni, ha mostrato che in molti casi è utile considerare spazi lineari dotati di una topologia assegnata con metodi più generali che quello di introdurre una norma. A questo fine si definisce spazio vettoriale topologico (sui numeri complessi ℂ) uno spazio vettoriale S (su ℂ) dotato di una topologia τ compatibile con la struttura di spazio vettoriale. Più precisamente, le operazioni di addizione e moltiplicazione per numeri complessi devono essere continue rispetto alla topologia assegnata: (a) se z₀=x₀+y₀, per ogni intorno U del punto z₀ si possono indicare intorni V e W dei punti x₀ e y₀ rispettivamente tali che x+y∈U per x∈V e y∈V; (b) se λ₀x₀=y₀, per ogni intorno U del punto y₀ esistono un intorno V del punto x₀ e un numero ε>0 tale che λx∈U per ∣λ−λ₀∣〈ε e x∈V. Il legame esistente tra la topologia e le operazioni algebriche sullo spazio S pone sulla topologia stessa restrizioni estremamente rigorose: non solo essa può essere assegnata tramite un sistema di intorni dello zero, ma un punto x e un insieme chiuso che non lo contenga hanno intorni non intersecantisi. Quest’ultima proprietà di separazione della topologia su S è detta regolarità. Fra gli spazi vettoriali topologici hanno un ruolo particolare gli spazi normati. Dalle proprietà della norma segue infatti che nella topologia indotta dalla norma stessa tutte le operazioni algebriche sono continue. Uno spazio vettoriale topologico la cui topologia non può essere assegnata con questa procedura è lo spazio C^∞([a,b]) delle funzioni infinitamente derivabili sull’intervallo chiuso [a,b]. La topologia è definita tramite un sistema di intorni dello zero U_m, (m intero positivo qualunque) composti da tutte le funzioni f che verificano le disuguaglianze ∣f^(k)(x)∣〈ε per k=0,1,...,m, dove f^(k) indica la derivata k-esima della funzione f. Lo spazio C^∞([a,b]) rientra tuttavia in un’altra importante classe di spazi vettoriali topologici, quella degli spazi localmente convessi. Si tratta di spazi vettoriali topologici in cui ogni insieme aperto non vuoto contiene un aperto non vuoto convesso. Questi spazi sono particolarmente importanti in quanto per essi vale il teorema di Hahn-Banach, che garantisce l’esistenza di funzionali lineari continui.

→ Equazioni funzionali