spazio euclideo

spazio euclideo

spazio euclideo spazio ambiente della geometria elementare, definito dagli assiomi della → geometria euclidea. In tal senso, costituisce il primo e forse più significativo esempio di rappresentazione dell’ordinario spazio fisico tridimensionale mediante un modello matematico, definito in modo assiomatico. Nella geometria di Euclide, esposta negli Elementi, gli assiomi sono proposizioni ritenute vere sulla base di una loro intrinseca e inopinabile evidenza e per oltre venti secoli lo spazio euclideo è risultato l’unico modello matematico di spazio, fino a che, con la scoperta delle → geometrie non euclidee, non se ne è assunta la relatività di modello adatto a una classe particolare di fenomeni e problemi. Anche l’assiomatica euclidea è stata sottoposta a revisione; nel 1899, infatti, Hilbert costruì una nuova assiomatica (→ Hilbert, assiomi di) che caratterizza lo spazio euclideo in modo formale e si presta a generalizzazioni in diverse direzioni. Da un lato, termini quali punto, retta e piano perdono ogni necessario riferimento allo spazio dell’esperienza e diventano oggetti astratti, implicitamente definiti dagli assiomi, dall’altro sono superati i limiti imposti dal riferimento allo spazio fisico e si apre così la possibilità di considerare spazi di dimensione n > 3 (→ definizione).

Definizione assiomatica

Uno spazio euclideo di dimensione n è uno → spazio affine che ha come sostegno uno spazio vettoriale euclideo reale, cioè uno spazio vettoriale di dimensione n su R in cui sia stato definito un prodotto interno (→ prodotto scalare). A partire dal prodotto scalare si definisce una metrica e, a partire da questa, una distanza, che per ogni coppia di punti A(x₁, …, x_n), B(y₁, …, y_n) è data da

Essa è anche detta distanza euclidea o distanza pitagorica (perché generalizza a n dimensioni il teorema di Pitagora).

Attraverso la distanza si introducono le altre nozioni metriche di lunghezza di un segmento e di ampiezza di un angolo (quest’ultima utilizzando le funzioni goniometriche inverse: si veda → prodotto scalare). Uno spazio euclideo è quindi uno → spazio metrico (ma non tutti gli spazi metrici sono euclidei) e tutti i suoi sottoinsiemi sono spazi metrici. La metrica definita in uno spazio euclideo induce in esso una topologia naturale, detta topologia euclidea, i cui aperti sono gli intorni circolari di un qualsiasi punto.

Se rispetto a tale metrica lo spazio euclideo è uno → spazio completo, esso è uno spazio di → Hilbert. Due vettori per i quali è nullo il prodotto scalare si dicono ortogonali. Un insieme di vettori non nulli si dice sistema ortogonale se i vettori sono a due a due ortogonali. Un sistema ortogonale completo (in cui cioè non esiste alcun sistema ortogonale che lo contiene come parte propria) si dice base ortogonale e, se ogni vettore ha norma unitaria, base ortonormale.

Esiste un sistema ortogonale completo se lo spazio è di Hilbert e, se è anche separabile (ossia contiene un insieme numerabile ovunque denso), allora ogni sistema ortogonale non è più che numerabile. Lo spazio numerico reale n-dimensionale Rⁿ fornisce un esempio di spazio euclideo: una base ortonormale è quella canonica e₁ = (1, 0, …, 0), e₂ = (0, 1, …, 0), …, e_n = (0, 0, …, 1) e un sistema di coordinate Oe₁ … e_n si chiama sistema di coordinate cartesiane o riferimento cartesiano.

Ogni spazio euclideo n-dimensionale è isomorfo a Rⁿ, e tutti gli spazi di Hilbert separabili sono tra loro isomorfi (l’isomorfismo di spazi euclidei è una biiezione che conserva sia le operazioni sia il prodotto interno). In uno spazio euclideo separabile completo a dimensione infinita vale la uguaglianza di Parseval, che fornisce la generalizzazione infinito-dimensionale del teorema di Pitagora (→ Parseval, identità di).