spazio analitico

spazio analitico

Un fascio ℱ su uno spazio topologico X è l’unione di una famiglia di gruppi abeliani (o anelli, o moduli) ℱ_x, uno per ogni punto x di X, che chiameremo spighe. Denotando con p:ℱ→X la funzione che manda ℱ_x in x, su ℱ è data una topologia per la quale: (a) p è un omeomorfismo locale, cioè per ogni punto ξ∈ℱ esistono un intorno U di ξ in ℱ e un intorno U di p(ξ) in X, fra i quali p stabilisce un omeomorfismo; (b) le operazioni algebriche che definiscono la struttura di anello o modulo su ogni spiga ℱ_x sono continue. Un sottofascio G di ℱ è un sottoinsieme aperto di ℱ tale che per ogni spiga per ogni punto x di X la spiga G_x sia un sottoinsieme (o sottoanello, o sottomodulo) di ℱ_x. Uno spazio analitico è uno spazio topologico X con un fascio, O_X, sottofascio del fascio dei germi di funzioni continue su X, il quale sia localmente isomorfo al modello locale (S,O_S) definito nel modo seguente. Sia U un aperto di ℂⁿ e sia S un sottospazio di U. Sia O il fascio di ideali di O costituito da germi di funzioni olomorfe che si annullano su S. Se x∩S, allora O_x/ℒ_x={0}, cosicché il fascio O/ℒ è ‘concentrato’ su S. Indicheremo con O_S la restrizione di O/ℒ a S, e chiameremo la coppia (S,O_S) un modello locale di uno spazio analitico. Dire che X è localmente isomorfo a un modello locale significa che, per ogni punto x∈X, esistono: (a) un intorno A di x∈X; (b) un modello locale (S,O_S) in U, un omeomorfismo F di A su S tale che, per ogni y∈A, un germe f_y di funzione continua appartiene a O_x se e solo se (f∘F⁻¹)_F(y) appartiene a O_S,F(y). Il fascio O_X si chiama fascio di struttura dello spazio analitico X.

→ Geometria