SPAZI ASTRATTI

SPAZI ASTRATTI

. L'analisi matematica classica studia le proprietà delle funzioni di una o più variabili numeriche. Tali funzioni sono determinate dai valori assunti dalla variabile x in un certo intervallo, oppure da una coppia di numeri x, y (che si possono pensare come coordinate di un punto variabile in una certa area piana) o da una terna di numeri x, y, z (coordinate di un punto variabile in un certo volume dello spazio ordinario). Cioè una funzione f (P) è un numero che dipende dalla posizione del punto P variabile in una opportuna parte dello spazio. Ma accanto alle funzioni di punto si studiano nell'analisi moderna i funzionali (v. XVI, p. 180), cioè numeri che dipendono non più dalla posizione di un punto nello spazio, ma da enti più complessi. Ad esempio la lunghezza di un arco di curva è un numero che dipende dall'arco considerato; l'area delimitata da una curva piana chiusa è un numero che dipende da tale curva; la resistenza opposta ad un corpo che si muove secondo una legge nota in un dato fluido dipende dalla forma del corpo, ecc. La grande importanza - per la scienza pura e per le applicazioni - dello studio dei funzionali, ha portato alla istituzione del "calcolo funzionale" e dell'"analisi generale", che mirano a dare per essi metodi di ricerca e procedimenti di calcolo analoghi a quelli già noti per le funzioni di punto.

Per una funzione f(P) è fondamentale stabilire come essa varii quando si passa dal punto P a punti vicini, la vicinanza fra due punti potendosi esprimere mediante la loro distanza euclidea (concetto di limite, di continuità per una f(P), ecc.). Gli enti variabili da cui dipendono i funzionali sono curve, superficie, funzioni di punto, ecc.; cosa dovrà ora intendersi dicendo che due di tali enti sono vicini?

Come lo studio delle f(P) era fondato sul concetto di spazio euclideo, così per poter sviluppare il calcolo funzionale si è dovuto dapprima allargare tale concetto fino a considerare gli spazî astratti, in cui l'elemento variabile possa essere una curva o una superficie o una f(P), ecc.

Tale indirizzo di studî si è rivelato fecondo anche per altri rami delle matematiche e ha inoltre portato a una critica dei fondamenti per cui si sono venute a scindere - come fra loro indipendenti o del tutto accessorie - talune proprietà ritenute dapprima legate fra loro oppure essenzialmente implicite nel concetto di spazio.

Un insieme I di elementi costituisce uno spazio astratto quando per ogni elemento x di I sono definiti gli elementi y di I che sono "vicini" ad x, tale concetto di vicinanza dovendo soddisfare ad opportune condizioni che verranno precisate. Esaminiamo alcuni fra i più notevoli tipi di spazî astratti.

Spazî metrici. - Sono gli spazî astratti per i quali è definita la distanza fra due elementi, cioè ad ogni coppia x, y di elementi di I corrisponde un numero d(x, y) (distanza fra x e y) con le seguenti proprietà d (x, x) = 0, d (x, y) > 0 per x ??? y, d (x, y) = d (y, x), d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), z essendo un qualsiasi altro elemento di I.

Negli spazî metrici per ogni elemento x e ogni numero positivo δ sono definiti gli elementi che sono vicini ad x per meno di δ, cioè tutti gli elementi y per cui è d (x, y)〈δ. In tali spazî si ha una misura (distanza) della vicinanza fra due elementi.

Esempî di spazî metrici:

a) Spazio euclideo a n dimensioni. - L'insieme I è dato dalle ennuple x=(x₁, x₂, .. x_n) di numeri reali e la distanza da:

b) Spazio delle funzioni continue. - L'insieme I sia dato dalle funzioni continue nell'intervallo 0 ≤ x ≤ 1. Se f(x) e g (x) sono due di tali funzioni, si può definire la distanza:

c) Spazio delle successioni di numeri reali. - L'insieme I è dato dalle successioni di numeri reali {x_n} = x (n = 1, 2, ...). Si può definire la distanza:

d) Spazio delle funzioni misurabili. - Sia I l'insieme delle funzioni misurabili (Lebesgue) nell'intervallo 0 ≤ x ≤ 1, non necessariamente integrabili su tale intervallo. Si definisce la distanza fra due elementi f(x) e g (x) con:

l'integrale essendo inteso nel senso del Lebesgue. In tale spazio due funzioni che differiscano solo in un insieme di punti di misura nulla sono da considerarsi coincidenti.

e) Spazio hilbertiano. - È l'estensione naturale dello spazio euclideo a). I è dato dalle successioni x = {x_n} di numeri reali tali che sia convergente la serie

e la distanza è definita da

Sia ora I₁ l'insieme delle funzioni f(P) di quadrato integrabile secondo Lebesgue in una stessa regione C. Si ottiene un secondo spazio metrico definendo la distanza:

e considerando come coincidenti due funzioni che differiscano solo in un sottoinsieme di C di misura nulla. È possibile associare ad ogni elemento di I uno di I₁ e ad ogni elemento di I₁ uno di I in modo che ad ogni coppia di elementi di uno spazio corrisponda nell'altro una coppia avente la stessa distanza.

Spazî lineari. - Per ogni coppia ordinata x, y di elementi di I è definita l'operazione di somma che fa corrispondere a tale coppia un elemento x + y di I e per ogni numero k è definita l'operazione prodotto che fa corrispondere a ogni elemento x di I un altro elemento kx di I. Tali operazioni soddisfano alle condizioni:

dove x, y, z, sono elementi qualsiasi di I e a, b dei numeri.

Gli esempî di spazî metrici già dati sono anche spazî lineari quando per somma di due elementi e prodotto di un elemento per un numero si diano le definizioni usuali.

Spazî topologici (v. topologia astratta, in questa Appendice). - Gli spazî astratti conducono a considerazioni che mostrano la diversità della nozione introdotta dalla comune nozione di spazio.

In uno spazio euclideo il fatto che una successione di punti abbia limite è equivalente alla condizione di A. Cauchy, che esprime che la distanza fra una qualunque coppia di elementi della successione è piccola quanto si vuole purché questi occupino un posto abbastanza avanzato. Per uno spazio astratto non è detto che dall'essere soddisfatta la condizione di Cauchy segua l'esistenza di un elemento limite per la successione; si dicono completi gli spazî astratti per cui la condizione di Cauchy è ancora equivalente all'esistenza del limite per ogni successione contenuta nello spazio.

Ogni insieme di infiniti punti contenuti in una regione limitata di uno spazio euclideo ha la proprietà che esiste sempre almeno un punto dello spazio nelle vicinanze del quale si addensano infiniti elementi dell'insieme. Gli spazî astratti per cui ciò accade si dicono compatti. Vi sono spazî astratti non compatti; ad esempio lo spazio hilbertiano già considerato.

In uno spazio euclideo si può definire una successione di punti (ad esempio quelli che hanno tutte le coordinate razionali) con la proprietà che ogni altro punto dello spazio si può approssimare quanto si vuole con punti della suddetta successione. Anche questa proprietà può perdersi passando agli spazî astratti e si dicono separabili quelli per cui essa si mantiene.

Bibl.: vedi topologia astratta.