somma diretta

somma diretta

Sia {A_α,α∈I} una famiglia di insiemi indicizzata dall’insieme I e sia π_Α∈I A_α il prodotto diretto (o cartesiano) dei suoi elementi A_α. Un elemento di π_Α∈I A_α è allora un’applicazione x_α=x(α) che fa corrispondere a ogni α∈I un elemento x_α di A_α. Se su tutti gli insiemi A_α è definita una medesima struttura algebrica quale quella di gruppo, spazio vettoriale, algebra o anello, il loro prodotto diretto la eredita in modo naturale. Se l’insieme degli indici I ha un numero finito n di elementi, il prodotto diretto si identifica con l’insieme delle n-uple ordinate di elementi degli (x₁,...,x_n) con x_i=A_i. Sul prodotto diretto sono definite le proiezioni P_α:π_Α∈IA_α→A_α tramite la relazione P_α(x)=x_α. Supponiamo ora che ciascuno degli insiemi A_α sia uno spazio vettoriale (per es. un’algebra). La somma diretta (algebrica) ∑_Α∈IA_α degli insiemi A_α (talvolta indicata con il simbolo ⊕_α∈I A_α) è allora definita come quel sottoinsieme (di fatto un sottospazio) del prodotto cartesiano π_Α∈I A_α consistente di quelle applicazioni (elementi) x:I→π_Α∈I A_α che hanno supporto finito, ovvero tali che x_α=x(α)=0_α (il simbolo 0_α indica lo zero dello spazio A_α) tranne che per un numero finito di α∈I. Ogni spazio vettoriale è somma diretta di spazi vettoriali unidimensionali e una simile decomposizione equivale alla scelta di una base. Notiamo che l’elemento essenziale della definizione di somma diretta è l’esistenza di un elemento neutro negli insiemi A_α. Per questa ragione la somma diretta può essere introdotta anche nel caso di anelli.

→ Invarianti, teoria degli