sizigie
sizigie
Sia R un anello commutativo noetheriano con unità. Sia M un modulo su R e sia dato un numero finito di generatori come R-modulo. Poiché R è noetheriano, l’R-modulo delle relazioni o delle sizigie fra tali generatori ammette anch’esso un numero finito di generatori. Reiterando questo procedimento otteniamo una risoluzione
→H2→H1→H0→M→0
dove gli Hi sono R-moduli liberi finitamente generati e Hi+2 ha per immagine in Hi+1 il nucleo dell’applicazione Hi+1→Hi. In teoria degli invarianti un esempio tipico è dato dal caso in cui M sia un’algebra di invarianti con un numero finito di generatori su un campo k ed R sia l’anello dei polinomi su k in tante indeterminate quanti sono i generatori dati di M. Si ha un omomorfismo suriettivo f:R→M di k-algebre che manda un’indeterminata nel generatore corrispondente. In tal caso la determinazione delle sizigie prime consiste nella determinazione dei generatori dell’ideale definito dal nucleo di f la cui conoscenza equivale alla conoscenza dell’algebra M. Il teorema delle sizigie di Hilbert garantisce che, nel caso in cui R sia l’anello dei polinomi in n indeterminate su un campo k, esiste una tale risoluzione con Hi uguale a 0 per i sufficientemente grande. Il teorema di Hilbert considera anche il caso in cui M sia un modulo graduato e la struttura di R-modulo sia compatibile con la naturale graduazione definita su R dal grado di un polinomio. In tal caso il teorema garantisce l’esistenza di una risoluzione di M tramite R-moduli liberi finitamente generati graduati. Tale variante ha implicazioni estremamente importanti in geometria algebrica alla luce del fatto che i fasci coerenti sullo spazio proiettivo ℙn su k corrispondono ai moduli graduati finitamente generati su R; per es. le sottovarietà di ℙn sono definite da ideali graduati di ℙn. Per molte questioni di algebra omologica su R o di geometria algebrica (per es. la K-teoria) in ℙn il teorema di Hilbert permette di sostituire il modulo M (o il fascio associato) con la risoluzione definita dagli Hi.