sistemi dinamici caotici
sistemi dinamici caotici
Modelli matematici che descrivono le variazioni nel tempo di uno stato fisico sulla base della teoria del caos. Un sistema dinamico è definito come caotico se presenta sensibilità alle condizioni iniziali, imprevedibilità a lungo termine, orbite periodiche dense. Nei sistemi caotici piccole deviazioni delle condizioni iniziali sono esponenzialmente amplificate al trascorrere del tempo. Tale fenomeno fu osservato dal meteorologo Edward N. Lorenz nel 1963 e denominato effetto farfalla (in relazione al fatto che in linea di principio il battito d’ali di una farfalla sia in grado di provocare un uragano dalla parte opposta della Terra). Poiché le condizioni iniziali sono sempre note con una precisione finita, l’amplificazione di tali errori rende sempre l’evoluzione del sistema non prevedibile nel lungo periodo. Un tale caos è anche detto deterministico, con riferimento all’assenza di ogni elemento aleatorio nelle equazioni del modello matematico associato. La condizione necessaria perché si abbia caos deterministico è che il sistema sia non lineare. Un classico esempio è fornito dall’andamento di un pendolo in oscillazione periodica forzata. Sebbene la sua dinamica sia completamente descritta da un insieme noto di equazioni differenziali non lineari, deviazioni sensibili nelle condizioni iniziali possono condurre a un comportamento temporale di tipo caotico. Ovviamente la linearizzazione di dette equazioni annulla la sensibilità alle condizioni iniziali, impedendo così l’insorgere di un comportamento caotico. In generale, tutti i sistemi dinamici non lineari con più di due gradi di libertà (come accade a molti sistemi biologici, geofisici o economici) mostrano un comportamento di tipo caotico sul lungo periodo. L’orbita seguita dal sistema può essere opportunamente rappresentata nello spazio delle fasi. In alcuni casi un sistema caotico presenta una dinamica caratterizzata dalla presenza di una limitata area, detta attrattore, verso la quale la traiettoria tende a essere attratta. Tale zona è detta attrattore strano se la sua dinamica è caotica (dimensione di Haussdorff non intera), ovvero tale che punti vicini in una zona limitata dello spazio delle fasi tendono a separarsi in modo esponenziale nel tempo. Tale comportamento è tipico dei sistemi dissipativi, come accade nel caso di sistemi con perdita di energia per attrito. Per quanto concerne i sistemi conservativi, invece, l’assenza di attrattori rende lo studio più complesso. Un risultato importante in questo contesto è rappresentato dal teorema di Kolmogorov-Arnold-Moser (teorema KAM). Le applicazioni della teoria del caos a sistemi conservativi spaziano dallo studio della stabilità del sistema solare a quello dei fasci di particelle nelle macchine acceleratrici. Un nuovo settore di ricerca è rappresentato oggi dalla teoria del caos quantistico e dalla teoria del controllo di sistemi caotici.