aritmetica, sistema formale per l'

aritmetica, sistema formale per l'

aritmetica, sistema formale per l’ descrizione dell’aritmetica come teoria formale a partire da un sistema di assiomi. Per l’aritmetica si utilizzano innanzitutto i simboli del linguaggio dei predicati. Si aggiungono poi il simbolo 0, i simboli + e ·, rispettivamente per l’addizione e per la moltiplicazione, qui considerate come funzioni di due argomenti, e il simbolo s per la funzione successore. Sono termini di tale teoria la costante 0, le variabili x, y, z e tutto ciò che si ottiene applicando, anche più volte, le funzioni +, · e s.

I seguenti assiomi individuano un sistema di assiomi dell’aritmetica così costruita come teoria formale. L’insieme N dei numeri naturali con le sue operazioni, relazioni e funzioni ne costituisce un modello privilegiato:

(se due numeri coincidono, la coincidenza di un numero con un terzo implica la coincidenza dell’altro numero con tale terzo);

(se due numeri coincidono, coincidono anche i loro successori).

Questi primi due assiomi permettono di ricavare come teoremi le usuali proprietà dell’uguaglianza: riflessività, simmetria, transitività.

Ulteriori assiomi sono i seguenti:

(se i successori di due numeri coincidono, i numeri stessi coincidono);

(0 non è il successore di alcun numero);

(0 è elemento neutro per l’addizione);

(la somma di un numero e del successore di un altro è uguale al successore della loro somma);

(il prodotto di ogni numero per 0 è 0);

(distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione, espressa nel caso più elementare).

Questi assiomi individuano in modo categorico i numeri naturali e definiscono le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione. Infine va posto uno schema di assiomi nel quale P indica una qualunque proprietà espressa da una formula ben formata di tale teoria. Tale schema di assiomi introduce nella teoria formale il principio di → induzione matematica:

(se una proprietà è vera per 0 e se per ogni numero la verità della proprietà per esso implica la verità per il suo successore, allora la proprietà è vera per ogni numero).