simultanee, sistema di equazioni

simultanee, sistema di equazioni

Insieme di due o più equazioni. Una soluzione di un sistema è un insieme di valori delle incognite che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.

Un caso di notevole interesse applicativo in campo economico-aziendale è quello dei sistemi lineari, cioè di m equazioni algebriche lineari (dove compaiono polinomi di primo grado) in n incognite. Con notazione matriciale esso si lascia descrivere nella forma Ax=b, dove A è una matrice con m righe e n colonne di elemento generico a_ij, x è un vettore colonna incognito con n componenti e b è un vettore assegnato di termini noti con m componenti. Un tale sistema si dice compatibile se esiste almeno una soluzione, determinato se essa è unica. Con riferimento a soluzioni nel campo reale o complesso, condizione necessaria e sufficiente per la compatibilità è che la matrice A dei coefficienti e quella aumentata ai termini noti (che si ottiene accostando b all’ultima colonna di A) abbiano uguale caratteristica (numero massimo di vettori linearmente indipendenti) p. L’unicità si ha nel caso p=n (teorema di Rouché-Capelli). Se p

Metodi di soluzione

Se il sistema è compatibile, dopo aver eliminato le equazioni e le variabili ridondanti ci si riduce a un nuovo sistema By=c, dove B è una matrice quadrata di p righe e p colonne di rango massimo (p). Soluzione del sistema è y=B⁻¹c, dove B⁻¹ è la matrice inversa della B. Questo metodo richiede l’inversione della matrice B. Quando la dimensione del problema è modesta, si può utilizzare la regola di Cramer, per la quale la soluzione unica del sistema è data dal vettore y di componenti y_j=detB_j/detB, j=1,…, p, dove detB_j è il determinante (➔) della matrice quadrata ottenuta sostituendo la j-esima colonna di B con la colonna dei termini noti. Quando la dimensione è rispettabile, conviene utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss, che richiede la trasformazione del problema in uno equivalente Ty=d, dove T è una matrice triangolare inferiore, cioè con elementi tutti nulli sotto la diagonale principale. A questo punto il problema si risolve immediatamente: si ricava y_p dall’ultima equazione, lo si sostituisce nelle altre equazioni e in particolare si risolve la penultima nell’unica variabile rimasta y_p−1 e, iterando il procedimento all’indietro, si ricava l’intero vettore y.