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Taylor, serie di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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Taylor, serie di


Taylor, serie di per una funzione di variabile reale ƒ(x): R → R, dotata di derivate di ogni ordine in un punto x0, è la → serie di potenze

formula

Sotto opportune ipotesi essa converge a ƒ(x) in un intervallo (x0 − h, x0 + h), detto intervallo di convergenza: per esempio, si può richiedere che le derivate soddisfino in tale intervallo la condizione |ƒ(n)(x)|/n! ≤ M /hn, con M costante. Si dice allora che ƒ(x) è sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di x0. Esistono funzioni di classe C ∞ non sviluppabili, o perché la loro serie di Taylor non converge per nessun x ≠ x0, oppure perché converge ma non alla funzione generatrice: per esempio la funzione così definita

formula

è dotata nell’origine di derivate di ogni ordine, che però sono tutte nulle, per cui la sua serie di Taylor converge alla funzione identicamente nulla.

La serie di Taylor permette di estendere al campo complesso la definizione di funzione reale. Basta infatti porre la variabile complessa z al posto della variabile reale x per ottenere una serie di potenze, il cui cerchio di convergenza ha raggio almeno h. In particolare, se h è arbitrario, si ha che il raggio R è ∞ e si ottiene una trascendente intera. Per esempio, dallo sviluppo di ex, valido su tutto R, si ottiene la definizione della funzione esponenziale ez in tutto C. Le funzioni ottenute con questo metodo di → prolungamento dal reale al complesso godono automaticamente della proprietà di essere funzioni analitiche e sono l’unica estensione analitica della funzione reale data. Se l’intervallo di convergenza della serie reale era limitato, la serie prolungata ammetterà sulla circonferenza di convergenza dei punti singolari, e può risultare polidroma. Per esempio, lo sviluppo di ƒ(x) = arctan(x) si estende e definisce arctan(z) come somma della serie

formula

ma tale sviluppo vale solo nel cerchio |z| < 1, pur essendo la funzione ƒ(x) di classe C∞ (R). Il motivo sta nel fatto che la derivata di ƒ(z) è 1/(1 + z 2) e questa funzione, regolare in R, non lo è in C, ammettendo due poli semplici nei punti z = ±i. La loro presenza impone che sia R = 1, non potendo esistere singolarità di una funzione analitica all’interno del suo cerchio di convergenza. Si noti inoltre che arctan(z) è funzione polidroma, definita in C{±i } (si tratta di due punti di diramazione): lo sviluppo precedente ne fornisce solo la parte principale nel cerchio di convergenza, mentre il resto della funzione può essere ottenuto mediante prolungamento analitico secondo Weierstrass (→ funzione analitica). In definitiva, una funzione è sviluppabile in serie di Taylor se e solo se è analitica: nell’esempio precedente, la funzione exp(−1/z 2) prolungata nel campo complesso non è continua nell’origine, dove presenta una singolarità essenziale e il suo sviluppo di Taylor è fittizio.

Vedi anche
anàlisi infinitesimale (o càlcolo) Parte della matematica (detta anche semplicemente analisi matematica) i cui metodi e sviluppi sono fondati sull'operazione di passaggio al limite. Suoi iniziatori sono considerati nel 17° sec. I. Newton e G.W. Leibniz, tuttavia ha avuto il suo sviluppo solo in seguito alla definizione rigorosa ... applicazione Matematica Il concetto di a. è una generalizzazione del concetto classico di funzione (➔ corrispondenza). Si parla di a. di un insieme P in un insieme Q, quando tra i due si stabilisce una corrispondenza del tipo seguente: a ogni elemento di P corrisponde un ben determinato elemento di Q, mentre un elemento ... tangente In geometria, si dice di ente (retta, linea, superficie ecc.) che abbia un particolare rapporto spaziale con altro ente della stessa natura, definito caso per caso e che riguarda comunque l’intersezione dei due enti considerati (che si dicono anche tra loro t.). In particolare, retta t. a una curva in ... Brook Taylor Matematico (Edmonton, Middlesex, 1685 - Londra 1731). Dottore in legge (1714), si occupò di matematica e fu allievo di I. Newton. Fu membro (1712) e segretario (1714-18) della Royal Society. Si occupò di problemi di corde vibranti e di propagazione della luce, nonché del calcolo delle differenze finite ...
Tag
  • FUNZIONE DI VARIABILE REALE
  • SINGOLARITÀ ESSENZIALE
  • FUNZIONE ESPONENZIALE
  • FUNZIONE ANALITICA
  • FUNZIONE POLIDROMA
Altri risultati per Taylor, serie di
  • Taylor, serie di
    Dizionario di Economia e Finanza (2012)
    Serie di potenze (➔ serie matematica) elaborata da B. Taylor, i cui addendi contengono potenze dell’argomento x di una funzione f. La serie di T. di una funzione f(x) definita in un intervallo aperto (a−m, a+m) a valori reali o complessi e infinite volte derivabile è: f(x)=f(a)+ f(1)(a)(x−a)+f(2)(a)(x−a)2/2+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+..., ...
Vocabolario
taylorista
taylorista 〈tail-〉 o, all’ingl., 〈teil-〉 s. m. e f. [der. di taylorismo] (pl. m. -i). – Chi segue e attua, in economia, i principî e i metodi del taylorismo.
taylorismo
taylorismo 〈tail- o, all’ingl., teil-〉 s. m. [dal nome di F. W. Taylor (v. oltre)]. – L’organizzazione razionale del lavoro, quale fu iniziata praticamente e teoricamente, tra l’ultimo Ottocento e il primo Novecento, dall’ingegnere statunitense...
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