• Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X

Gregory-Leibniz, serie di

Enciclopedia della Matematica (2013)
  • Condividi

Gregory-Leibniz, serie di


Gregory-Leibniz, serie di in analisi, sviluppo di → Maclaurin della funzione arcotangente:

formula

valido nell’intervallo (−1, 1). Tale sviluppo, descritto da J. Gregory nel 1668, era già noto anche ai matematici indiani. Esso fu riscoperto da Leibniz nel caso particolare x = 1, che fornisce

formula

Anche se il calcolo del quadruplo delle somme parziali di questa serie è uno dei metodi per la determinazione di valori approssimati di π, la sua lentissima convergenza non permette in realtà un calcolo accurato di π. Per questo furono escogitate diverse varianti, la più famosa delle quali è dovuta a John Machin (1680? - Londra 1751), che nel 1706 ne calcolò 100 cifre decimali attraverso una formula che da lui prende il nome. Per giungere alla formula di Machin si calcoli con la serie di Gregory-Leibniz il valore α = arctan(1/5):

formula

Mediante le formule di duplicazione da tan(α) = 1/5 si ottiene tan(2α) = 5/12 e poi tan(4α) = 120/119 e quindi 4α è di poco maggiore di π/4. Posto allora β = 4α − π/4, risulta

formula

da cui

formula

Calcolati α e β si ha poi π = 4(4α − β). Questa è la formula di Machin, che può essere espressa anche come π = 4(4arctan(1/5) − arctan(1/239)).

Per apprezzare la rapidità di convergenza di queste serie si osservi che bastano sei addendi della prima serie e due della seconda (valutati con 9 cifre decimali per controllare gli errori di arrotondamento) per ottenere sette cifre decimali di π.

Tag
  • SVILUPPO DI → MACLAURIN
  • FORMULE DI DUPLICAZIONE
  • ARCOTANGENTE
  • JOHN MACHIN
Vocabolario
leibniziano
leibniziano ‹laib-› agg. e s. m. – 1. agg. Che si riferisce al filosofo e scienziato ted. G. W. von Leibniz (1646-1716), alle sue dottrine, ai suoi principî: il sistema monadologico l.; l’opera matematica leibniziana. 2. s. m. Fautore,...
sèrie
serie sèrie s. f. [dal lat. series, der. di serĕre «intrecciare, infilare»]. – 1. Successione ordinata e continua di elementi, concreti o astratti, dello stesso genere: è il quarto nella s. dei papi, degli imperatori romani; la s. dei numeri...
  • Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X
  • Ricerca
    • Enciclopedia
    • Vocabolario
    • Sinonimi
    • Biografico
    • Indice Alfabetico

Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.A. © Tutti i diritti riservati

Partita Iva 00892411000

  • facebook
  • twitter
  • youtube
  • instagram
  • Contatti
  • Redazione
  • Termini e Condizioni generali
  • Condizioni di utilizzo dei Servizi
  • Informazioni sui Cookie
  • Trattamento dei dati personali