polinomio, scomposizione in fattori di un
polinomio, scomposizione in fattori di un
polinomio, scomposizione in fattori di un o fattorizzazione di un polinomio, nel calcolo letterale, determinazione di polinomi che, moltiplicati tra loro, diano come risultato il polinomio dato. A livello elementare, considerando polinomi a coefficienti nell’insieme Z dei numeri interi, la scomposizione in fattori di un polinomio si effettua ricorrendo a diverse tecniche. Innanzitutto, si analizza se è possibile un raccoglimento a fattor comune del massimo comune divisore, che può essere totale, come in
oppure, inizialmente, parziale, come in:
Successivamente, si ricorre ad alcune identità formali di particolare rilevanza, derivanti dai prodotti notevoli, di cui sono qui presentate le più utilizzate:
• a2 − b2 = (a + b) (a − b)
(differenza di due quadrati)
• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
(quadrato di un binomio)
• a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
(cubo di un binomio)
• a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
(somma di due cubi)
• a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
(differenza di due cubi)
• a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2
(quadrato di un trinomio)
Se il polinomio è un trinomio di secondo grado ax 2 + bx + c e ha due zeri reali x1 e x2, esso è allora scomponibile in R come a(x − x1)(x − x2). Se di un polinomio p(x) si individua uno zero reale α, allora esso, per il teorema di → Ruffini, è divisibile per x −α e risulta così scomponibile in R: p(x) = q(x)(x − α), essendo q(x) il quoziente della divisione intera di p(x) per x − α. Va osservato che, come accennato, il problema della scomposizione in fattori di un polinomio dipende dall’ambiente numerico in cui si vuole realizzare. Per esempio, in Z[x] il polinomio x 2 − 2 non è scomponibile, mentre lo è in R[x] giacché x 2 − 2 = (x − √(2))(x + √(2)); così x 2 + 1 non è scomponibile in R[x], ma lo è in C[x] perché x 2 + 1 = (x − i)(x + i), essendo i l’unita immaginaria.
In termini più formali è generali, scomporre un polinomio p(x) significa determinarne k polinomi p1(x), …, pk(x) tali che valga l’uguaglianza p(x) = p1(x) ⋅… ⋅ pk(x). Se p(x) ha grado n è se pi(x) ha grado ni (per i = 1, …, k), vale allora la relazione n = n1 + … + nk. Il problema è strettamente legato a quello della risoluzione delle equazioni algebriche e, per una trattazione più connotata teoricamente, si rinvia al lemma → fattorizzazione.