ROTAZIONE

ROTAZIONE (ted. anche Drehung)

1. È uno dei tipi elementari di moti rigidi. Di una figura supposta rigida (e, quindi, di un corpo solido) si dice rotazione ogni moto, in cui si mantengano fissi tutti i punti di una retta rigidamente connessa o solidale con la figura. Per realizzare un tale moto, basta fissare due punti A e B, solidali con la figura, giacché, in forza delle condizioni di rigidità, restano di conseguenza fissi anche tutti gli altri punti della retta AB. Questa retta si dice asse di rotazione; e ogni punto P della figura, il quale non appartenga all'asse, si muove, durante la rotazione, su quella circonferenza, passante per la rispettiva posizione iniziale P₀, che giace nel piano per P₀ perpendicolare all'asse, e ha il suo centro Q su esso.

In particolare, per una figura rigida piana, che si muove nel suo piano, si dice rotazione ogni moto, in cui sul piano resti fisso un punto solidale con la figura (centro di rotazione).

Nello spazio la posizione di una figura, rotante intorno a un asse a, risulta individuata, istante per istante, dalla posizione che nell'istante considerato assume un semipiano a uscente da a e solidale con la figura; e per determinare questa posizione di a basta darne l'anomalia rispetto a un determinato semipiano α₀, uscente pur esso da a, ma fisso. A questa anomalia si attribuisce un segno, fissando come positivo uno dei due versi di rotazione intorno ad a, i quali si distinguono l'uno dall'altro, attribuendo ad arbitrio un'orientazione all'asse e tenendo conto che, rispetto all'asse così orientato, i due versi di rotazione sono l'uno destrorso, l'altro sinistrorso. In meccanica si adotta solitamente come verso positivo delle rotazioni quello che, rispetto all'asse preventivamente orientato, è sinistrorso (cioè contrario a quello, in cui si vedono rotare le lancette dei comuni orologi). In base a queste convenzioni, il moto di rotazione risulta definito, quando si conosca, oltre all'asse orientato, la legge oraria, con cui varia l'anomalia, cioè la sua espressione - (t) in funzione del tempo t, misurato a partire da un determinato istante. Fra i moti di rotazione sono particolarmente notevoli quelli uniformi, caratterizzati dalla proprietà che in tempi uguali l'anomalia varia di angoli uguali, sicché la corrispondente legge oraria è della forma - ϑ = ± ωt + ϑ₀, dove ω è una costante positiva e ϑ₀ denota l'anomalia del piano rotante α nell'istante t = 0. Basta contare i tempi dall'istante, in cui α assume la posizione a₀, perché risulti ϑ₀ = 0 e, quindi, l'equazione oraria si riduca a ϑ = ± ωt.

Per avere le equazioni di un qualsiasi moto di rotazione sotto la loro forma più semplice, conviene scegliere in modo opportuno la terna Ox′y′z′ di assi fissi, cui si intende riferire il moto, e la terna Oxyz solidale con la figura rotante, che consente di individuare i singoli punti di questa figura. Precisamente, nelle due terne, si assumono i terzi assi z, z′ coincidenti entrambi con l'asse di rotazione; e, fissate le due origini in un medesimo punto O⊄O′ di quest'asse, si prendono come semiassi positivi x e x′ quelle due semirette perpendicolari in O⊄O′ a z⊄z′ che giacciono rispettivamente in α e α₀. Le equazioni del moto sono date allora da:

2. La velocità (scalare) di un generico punto P della figura rotante, il quale abbia dall'asse la distanza ρ, è data, istante per istante, da ρϑ̇, dove ϑ̇ denota la derivata δϑ/δt di ϑ rispetto al tempo, e si chiama la velocità angolare (scalare) del moto di rotazione. Se il moto è uniforme, essa si riduce alla costante ± ω.

In ogni caso la velocità angolare ϑ̇ e la direzione del corrispondente asse di rotazione si rappresentano insieme per mezzo del vettore ω, che ha la direzione fissa di codesto asse, e, istante per istante, ammette come lunghezza il valore assoluto ∣ϑ̇∣ della velocità angolare scalare, mentre è orientato in quel verso, rispetto a cui il moto, nell'istante considerato, appare sinistrorso. Questo vettore ω, che in ogni caso è di direzione invariabile - e nei moti uniformi è addirittura costante -, si chiama velocità angolare vettoriale del moto di rotazione, e permette di esprimere in forma comoda per le deduzioni la velocità vettoriale v_P del generico punto P della figura rotante. La v_P, che è in ogni istante diretta tangenzialmente alla traiettoria circolare di P e quindi giace nel piano per P perpendicolare all'asse ed è normale al raggio QP della traiettoria, è data (v. vettore) da:

v_P = ω ≿ (P − Q) ;

e si può anche scrivere, ove si denoti con O un qualsiasi punto dell'asse,

v_P = ω ≿ (P − O).

L'accelerazione a_P = da_P/dt del generico punto P giace anch'essa nel piano per P perpendicolare all'asse, sicché si può scindere in un componente tangenziale alla traiettoria e in un componente radiale o, meglio, centripeto. Il primo di questi componenti è dato da ω× ≿ (P − O), il secondo da −ω² (P − Q), onde si ha:

α_P = ω× ≿ (P − O) − ω² (P − Q) = ω× ≿ (P − O) + ω ≿ v_P.

Per i moti di rotazione uniformi l'accelerazione di ogni punto P si riduce al suo componente centripeto.

3. Il nome di "rotazione" si usa, in senso esteso, a denotare anche ogni moto di una figura rigida, per il quale resti fisso un solo punto O solidale con la figura (centro di rotazione). È di questo tipo un qualsiasi moto di una sfera su di sé stessa. In ogni caso un moto di rotazione intorno a un centro O si può immaginare decomposto in una successione di infiniti moti infinitesimi, ciascuno dei quali è una rotazione intorno a un conveniente asse per O. Questo asse, da istante a istante, varia nello spazio, sicché si dice asse istantaneo di rotazione; e d'altro canto varia nel tempo, rispetto alla figura rotante, anche quella retta solidale con essa, che si trova a fungere da asse istantaneo. Il luogo degli assi istantanei nello spazio e quello delle rette solidali con la figura che nei successivi istanti si trovano a coincidere col corrispondente asse istantaneo, costituiscono due superficie coniche di vertice O - la prima fissa nello spazio, la seconda solidale con la figura rotante - le quali si chiamano coni del Poinsot; e il moto di rotazione intorno a O si può immaginare realizzato, facendo rotolare, senza strisciamento, il cono del Poinsot solidale con la figura sul cono del Poinsot fisso.

4. Si dice superficie di rotazione o di rivoluzione o rotonda ogni superficie, che si possa immaginare generata da una curva rigida, che ruoti intorno a un asse solidale con essa. P. es., se si fa ruotare intorno a un asse una retta e questa è incidente o parallela all'asse, si ottiene, come superficie di rotazione, un cono (completo) - in particolare un piano - o, rispettivamente, un cilindro. Se invece la retta rotante è sghemba all'asse, la superficie di rotazione è un iperboloide a una falda (v. quadriche).

Una qualsiasi superficie di rotazione è segata dai piani passanti per l'asse secondo altrettante curve fra loro uguali, che si dicono meridiani, e dai piani perpendicolari all'asse secondo altrettante circonferenze, che si dicono paralleli. Per altre proprietà delle superficie di rotazione, v. superficie.