risonanza

risonanza

risonanza [Der. del lat. resonantia "eco, rimbombo", da resonare (→ risonante)] [LSF] Fenomeno per cui l'ampiezza delle oscillazioni indotte da una perturbazione esterna in un sistema capace di oscillare (elettrico, meccanico, nucleare, ecc.) è massima quando la frequenza dell'eccitazione esterna coincide con una delle frequenze proprie di oscillazione del sistema. Accanto a questa r. d'ampiezza si considera anche una r. d'energia, che avviene a una frequenza poco diversa dalla precedente e che consiste nel massimizzarsi dell'energia in gioco nel sistema, cioè dell'interazione energetica fra il generatore della sollecitazione e il sistema oscillante. (a) [MCC] R. meccanica. Si consideri, per es., il semplice sistema oscillante meccanico costituito da un punto materiale P, di massa m, sollecitato a spostarsi lungo una direzione l da una forza variabile sinusoidalmente nel tempo t, F cos(2πft), e soggetto altresì a una forza di richiamo elastica, proporzionale allo spostamento x su l e a una forza resistente, proporzionale alla velocità dx/dt di P; il moto del punto viene a essere descritto dall'equazione: m(d2x/dt2)= F cos(2πft)-kx-r(dx/dt), essendo k, r opportune costanti, non negative. Il moto a regime, cioè dopo che si sia esaurito il transitorio iniziale, risulta essere armonico, x=a cos(2πft-φ), con ampiezza a=[F/ (2π)][4π2m2(f2-f₀2)+r2f2]-1/2 e sfasamento rispetto alla forza vibromotrice φ=arctan{-fr[2πm(f₀2-f2)]-1/2} , essendo f₀=(k/m)1/2/(2π) la frequenza propria delle oscillazioni libere di P in assenza di forza resistente; quanto all'energia cinetica di P, per il suo valor medio si ha: Em=π2mf2a2. Come si vede, ampiezza a, energia Em e fase iniziale φ dipendono, fermi restando la massa m e il coefficiente k della forza di richiamo, dalla frequenza f della sollecitazione e dal coefficiente r della forza resistente; gli andamenti di a, Em, φ al variare del rapporto f/f₀ e per vari valori della quantità b=r2/ (4mk) sono riportati nelle figg. 1÷3. Risulta così che Em è massima, cioè si ha r. d'energia, allorché f=f₀, qualunque sia b, cioè qualunque sia l'entità della forza resistente (beninteso entro i limiti in cui esista un regime di oscillazioni forzate per P); l'ampiezza a è massima, pari a F/[2πf₀r(1-2b)1/2], cioè si ha r. d'ampiezza, quando f=f₀(1-2b)1/2 e purché b non sia troppo grande: in effetti, per b≥0.5 non esiste più una r. d'ampiezza, come mostra la fig. 1. Peraltro, nei casi pratici i sistemi qualificati come sistemi oscillanti sono caratterizzati da una certa esiguità della forza resistente (r2≪4mk), per cui la quantità b è relativ. piccola e di norma lecitamente trascurabile rispetto alle altre grandezze in gioco; in questi casi, la r. d'ampiezza avviene sensibilmente alla stessa frequenza della r. d'energia, cioè alla frequenza propria f₀: di qui l'uso, comodo ancorché non rigoroso, di non distinguere in pratica le due r. e le relative frequenze. Per f=f₀ si ha comunque φ=-π/2 rad e a=F/(2πf₀r)=F/[r(k/m)1/2]; nel caso teorico di forza resistente nulla (r=0), l'ampiezza sarebbe infinitamente grande. Una caratteristica piuttosto importante è l'acutezza di r., che, come il termine stesso lascia intendere, è in relazione con la forma della curva di r., cioè dell'andamento dell'ampiezza o dell'energia delle oscillazioni del sistema in funzione della frequenza, e che esprime la maggiore o minore rapidita con cui l'ampiezza cresce e decresce al variare della frequenza intorno alla frequenza di r.: un sistema che abbia una r. piuttosto acuta (per es., come quella descritta dalla curva d'ampiezza nella fig. 1 per b=0.001) è atto a costituire un buon risonatore, cioè un dispositivo dotato della proprietà di entrare in regime di oscillazione soltanto se stimolato da sollecitazioni di frequenza prossima a quella di r., risultando invece pratic. insensibile a sollecitazioni di frequenza diversa. L'acutezza di r. può essere quantificata in vari modi. Un modo abbastanza usuale è di fare riferimento all'estensione dell'intervallo di frequenze delimitato dalle due frequenze f₁, f₂ alle quali l'energia associata alle oscillazioni del sistema si riduce a metà di quella che si ha alla r. (curva di selettività: fig. 4); come si dimostra, è f₂-f₁= r/(2πm). È utile al riguardo introdurre il cosiddetto fattore di qualità, o di merito, per la r. del sistema, pari, per un sistema caratterizzato da valori piuttosto piccoli di b, cioè, come si usa dire, per un sistema poco smorzato, al rapporto Q=f₀/(f₂-f₁) e quindi pari a 2πf₀m/r=(km)1/2/r: quanto minore è r, tanto maggiore è Q e tanto più stretto è l'intervallo f₂-f₁. Come si dimostra, Q è anche pari al rapporto fra l'ampiezza alla r. e l'ampiezza limite a₀ (fig. 1) che si avrebbe per f=0 (sollecitazione statica), talché esso indica anche quante volte l'ampiezza alla r. è maggiore di quella che si avrebbe in condizioni statiche: di qui l'uso di chiamare Q anche coefficiente di amplificazione per r. o, semplic. coefficiente di risonanza. Le considerazioni precedenti si estendono senza difficoltà dal caso del punto materiale al caso di un sistema oscilante meccanico qualunque, e in partic. acustico; per questi sistemi complessi è spesso utile, sia dal punto di vista qualitativo che dal punto di vista della trattazione analitica, il ricorso all'analogia elettromeccanica (→ elettromeccanico). (b) [EMG] R. elettrica. Ancora nell'analogia elettromeccanica, è possibile estendere le considerazioni e le equazioni precedenti anche a circuiti elettrici a resistenza (R), capacità (C) e induttanza (L), con elementi sia in serie che in parallelo tra loro (v. anche circuiti oscillanti passivi). Per i circuiti con elementi R, L, C in serie basta sostituire a con q, m con L, r con R, k con 1/C; così, per circuiti poco smorzati (come capita assai spesso), cioè con R2≪4L/C, la frequenza propria in assenza di resistenza (R=0), che è la frequenza di r. dell'energia, vale, con buona approssimazione, f₀=(2π)-1 (LC)-1/2, mentre la frequenza di r. della carica vale f₀[1-(R2C)/(2L)]1/2; la carica vale FL{2C/[R2 (2L-R2C)]}1/2 alla r. d'energia e F(LC)1/2/R, che è il valor massimo, alla r. di carica; lo sfasamento fra carica e forza elettromotrice vale -π/2 rad alla r. d'energia e arctan (-{ [4L/(R2C)]-2}1/2) alla r. di carica; il fattore di qualità vale Q=2πf₀L/R= (2πf₀CR)-1=(L/C)1/2/R; alla r. d'energia (f=f₀) la reattanza induttiva, 2πfL, e quella capacitiva, (-2πfC)-1, si equivalgono, e quindi l'impedenza si riduce alla sola resistenza; alla r. d'energia s'accompagna quindi un minimo dell'impedenza, cioè una r. d'ampiezza. Nella maggior parte delle applicazioni ci si riferisce peraltro all'andamento dell'intensità di corrente nel circuito, i=dq/dt, più che all'andamento della carica q; si trova che la r. di corrente avviene al massimo di ammettenza, cioè alla frequenza f₀, alla quale l'intensità assume il valore massimo F/R (fig. 5) e lo sfasamento fra intensità e forza elettromotrice diviene nullo: in queste condizioni il circuito si comporta come se fosse puramente resistivo (fuori della r., invece, il circuito si comporta induttivamente per f