Riemann

Riemann

Riemann Bernhard (Breselenz, Bassa Sassonia, 1826 - Selasca, Verbano-Cusio-Ossola, 1866) matematico tedesco. Nonostante la sua breve vita (morì non ancora quarantenne), le sue straordinarie ricerche, che vanno dall’analisi reale e complessa alla teoria dei numeri, dalla geometria algebrica alla topologia, al concetto di spazio a più dimensioni, hanno influenzato generazioni di matematici. I suoi lavori costituiscono un punto d’arrivo della matematica classica e, al tempo stesso, il punto di partenza di nuove prospettive e sviluppi. Personalità dall’«intuizione scintillante», come ebbe a scrivere F. Klein, di famiglia povera e numerosa (il padre era un pastore protestante che lo avviò agli studi teologici, ben presto ripudiati), nel 1846 si iscrisse all’università di Göttingen, dove studiò con M. Stern e C.F. Gauss; l’anno successivo si trasferì all’università di Berlino dove conobbe e fu allievo di J.P.G. Dirichlet e C.G. Jacobi, che influenzarono profondamente l’indirizzo delle sue ricerche. Ritornato a Göttingen, dopo essersi dedicato per tre semestri allo studio della filosofia (in particolare di Herbart) e della fisica, studi che costituiscono un aspetto essenziale della sua formazione scientifica, si laureò nel 1851 con la celebre memoria Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (I fondamenti di una teoria generale delle funzioni di una variabile complessa). Nella dissertazione espose, in contrapposizione alla teoria aritmetica delle funzioni di Weierstrass, una nuova teoria delle funzioni di variabile complessa ispirata alle concezioni della fisica matematica. Egli dedusse che una funzione di variabile complessa si può sempre definire in un campo, a meno di una costante, quando sono dati i valori della parte reale sul contorno del campo. L’ambiente geometrico in cui Riemann colloca le funzioni non è tuttavia il piano complesso ordinario, ma una sua peculiare creazione geometrica, la cosiddetta superfìcie di Riemann, una superficie (ossia un luogo analitico) a più strati sovrapposti sul piano non intersecantisi secondo linee, ma uniti gli uni agli altri in punti detti di ramificazione (o diramazione) della funzione e opportunamente congiunti in modo da poter passare con continuità da uno strato all’altro. Questo concetto, che stentò ad affermarsi per la sua arditezza, si è rivelato indispensabile per lo studio delle funzioni polidrome di x + iy, consentendo di associare a ogni determinazione della funzione uno strato della superficie. Di queste superfici si possono inoltre studiare le proprietà matematicamente interessanti con considerazioni di natura topologica, definendone l’ordine di connessione come il numero di tagli trasversali che si possono effettuare sulla superficie senza dividerla in parti disgiunte: sono le origini di una nuova branca della matematica, la topologia algebrica. Nel 1854 presentò per la libera docenza due importanti lavori, pubblicati postumi nel 1867: in Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria), introdusse i concetti di varietà e di curvatura di una varietà, il concetto di metrica di uno spazio o di una varietà (metrica di Riemann), fondamentali per la geometria differenziale. Studiando le cosiddette proprietà intrinseche e le superfici a curvatura costante positiva, o negativa, oltreché nulla (piano ordinario), Riemann scoprì, accanto alla geometria non euclidea (iperbolica) di Lobačevskij-Bolyai, un nuovo tipo di geometria non euclidea (geometria ellittica, o geometria di Riemann, che si ha nel caso della curvatura costante positiva, come, per es., nel caso della superficie sferica). Un altro contributo fondamentale è costituito dallo spazio che porta il suo nome (spazio di Riemann), il quale consente la definizione di prodotti scalari di vettori in modo che le distanze e gli angoli che ne risultano conducano a interessanti generalizzazioni della geometria euclidea. Nel secondo lavoro, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (Sulla rappresentabilità di una funzione mediante una serie trigonometrica), dedicato alle funzioni di variabile reale rappresentabili con serie trigonometriche, viene esposto per la prima volta in termini rigorosi il concetto di integrale definito e si dà una condizione necessaria e sufficiente d’integrabilità (integrabilità secondo Riemann). Nel 1857 fu nominato professore straordinario all’università di Göttingen e pubblicò la memoria Theorie der Abel’schen Functionen (Teoria delle funzioni abeliane), nella quale vengono studiate le funzioni algebriche di una variabile e i loro integrali (matrice di Riemann e teorema di Riemann-Roch). Nel 1859 fu nominato professore ordinario sulla cattedra che era stata di Gauss e Dirichlet e pubblicò l’articolo Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sul numero dei primi al di sotto di una grandezza data), che contiene la famosa congettura sulla funzione zeta di Riemann, a tutt’oggi [2013] irrisolta, a cui sono legate questioni fondamentali di teoria dei numeri. Nel 1862 cominciarono a manifestarsi i primi sintomi della malattia polmonare che nel giro di pochi anni lo porterà alla morte. Nella speranza che il clima mediterraneo potesse giovare alla sua salute, Riemann intraprese il primo viaggio in Italia e successivamente alternò la residenza in Germania a soggiorni in Italia. Morì nel 1866 in una località sulle sponde del lago Maggiore. La tradizione vuole che alla sua morte la domestica gettasse via le sue carte, tra cui vi era forse una traccia di soluzione della famosa congettura.