In matematica, si chiamano metodi, o procedimenti di a. o, semplicemente, a., procedure alle quali si ricorre per rappresentare enti matematici (numeri, misure, funzioni ecc.) in modo non esatto, ma sufficientemente [...] successive
Metodo utilizzato per la risoluzione numerica di equazioni del tipo x=T(x), essendo x un elemento di uno spaziometricocompleto, come per es. i numeri reali, e T una contrazione (➔). La soluzione dell’equazione, la cui esistenza e unicità ...
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Misura e integrazione
M. Evans Munroe
Introduzione
La nozione di integrale viene spesso introdotta considerando il problema di determinare l'area racchiusa da una curva, prendendo un limite di somme [...] .
Per applicare ora questo risultato, definiamo una misura finita ν su Σ ponendo
Si può dimostrare che Σ diventa uno spaziometricocompleto rispetto alla distanza definita dalla ρ(A, B)=ν(A+−B)+ν(B−A). Le funzioni ∫ fn sono continue su questo ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Le origini dell'analisi funzionale
Angus E. Taylor
Le origini dell'analisi funzionale
L'analisi funzionale acquista una precisa identità nel [...] di s in [a,b] tranne al più quelli contenuti in un insieme di misura nulla. In questo modo, L2 diventa uno spaziometricocompleto (ciò è parte del teorema di Riesz-Fischer). Il teorema afferma anche che esiste un operatore lineare T che trasforma L2 ...
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punto fisso
Luca Tomassini
Un punto x di un insieme X tale che F(x)=x per una determinata mappa F:X→X, ovvero di X in sé. Un tale punto si dirà anche punto fisso per F. La dimostrazione dell’esistenza [...] semplice, ma non per questo meno importante, tra i teoremi di punto fisso è il cosiddetto principio delle contrazioni. Siano X uno spaziometricocompleto con metrica ϱ e F:X→X un operatore (detto contrazione) tale che ϱ(F(x),F(y))≤qϱ(x,y) con 0〈q ...
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spaziometrico
Luca Tomassini
Nozione introdotta nel 1906 da Maurice Fréchet e sviluppata poco dopo da Felix Hausdorff; è un risultato diretto dell’analisi delle principali proprietà astratte della [...] si dice di Cauchy (o fondamentale) se per ogni ε>0 esiste un n0∈ℕ tale che d(xn,xm)〈ε per ogni m,n>0. Uno spaziometrico I si dice completo se ogni successione di Cauchy è convergente, ovvero il suo limite esiste ed è un elemento di I. In uno ...
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completocomplèto [agg. Der. del part. pass. completus del lat. complere "compiere sino alla fine" e quindi "che ha tutte le sue parti, intero"] [ALG] [ANM] Di ente non contenuto in altro ente più ampio; [...] ortogonale a tutti gli elementi del sistema è l'elemento nullo; v. anche equazioni integrali: II 479 e. ◆ [ANM] Spazio c.: uno spaziometrico nel quale ogni successione di punti che soddisfi la condizione di Cauchy è convergente verso un punto dello ...
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spazio di Banach
Arrigo Cellina
Uno spazio normato X diventa metrico definendo la distanza tra due punti x e y, indicata con d(x,y), come d(x,y)=∥x−y∥. Se questo spaziometrico è ‘completo’, è cioè [...] tale che ogni successione di Cauchy converge, X viene detto spazio di Banach. I n umeri reali hanno questa proprietà di essere completi e gli spazi di Banach sono le naturali generalizzazioni dell’insieme dei numeri reali.
→ Convessità ...
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norma
Luca Tomassini
Sia X uno spazio vettoriale. Un’applicazione ∣∣∙∣∣:X→ℝ si dice una norma se verifica i seguenti assiomi: (a) ∣∣x∣∣≥0, per ogni x∈X; ∣∣x∣∣=0 se e soltanto se x=0; (b) ∣∣λx∣∣=∣λ∣·∣∣x∣∣, [...] di un elemento di X non ha alcun riscontro negli assiomi che una distanza deve a sua volta soddisfare proprio per la sua generalità. Uno spazio normato e completo (come spaziometrico), ossia tale che ogni successione di Cauchy è convergente, si dice ...
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spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...
punto2
punto2 s. m. [lat. pŭnctum, lat. tardo pŭnctus, der. di pŭngĕre «pungere»: propr. «puntura, forellino»]. – 1. a. Nel cucito e nel ricamo, l’atto del passare il filo attraverso la stoffa e ripassarlo a breve distanza, e il risultato...