operatori compatti
Luca Tomassini
Operatori lineari su uno spazio di Hilbert ℋ vicini in un senso opportuno agli operatori di dimensione finita, ovvero agli operatori che mandano ℋ in un sottospazio [...] o completamente continuo se trasforma ogni insieme limitato in un insieme la cui chiusura nella topologia indotta dal prodottoscalare è compatta. In uno spazio di Hilbert a dimensione finita ogni operatore lineare è compatto, poiché trasforma ogni ...
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metrica riemanniana
Luca Tomassini
Un tensore g di rango 2 definito su una varietà differenziabile n-dimensionale che sia covariante, simmetrico e definito positivo. In ogni spazio tangente TπMν nel [...] p∈Mν) la base locale ∂ι (i=1,…,n), le componenti di g prendono la forma gιξ=〈∂ι,∂ξ> così che
dove
Se il prodottoscalare 〈∙,∙> non è definito positivo ma semplicemente non degenere (ovvero 〈X,Y>=0 per ogni Y∈TπMν implica X=0), oltre che ...
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serie di Fourier
Luca Tomassini
L’espressione di una funzione f di una o più variabili reali per mezzo di un sistema di funzioni ortonormali. Più precisamente, sia F uno spazio vettoriale (completo) [...] coefficienti di Fourier di F e sono espressi dalla formula ck=(φk,f) e la serie si intende convergere nella norma indotta dal prodottoscalare. In altri termini, la serie di Fourier di una funzione f in uno spazio F è definita come lo sviluppo di f ...
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traccia
Luca Tomassini
Nel caso di un operatore lineare (matrice quadrata) di uno spazio vettoriale euclideo n-dimensionale in sé A=∣∣aij∣∣ (con aij numeri complessi e i,j=1,...,n), la traccia di A [...] . La generalizzazione del concetto di traccia al caso di spazi vettoriali di dimensione infinita dotati di prodottoscalare (di Hilbert) ℋ si è dimostrata uno strumento fondamentale nello studio delle sottoalgebre dell’algebra degli operatori ...
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teorema della divergenza
Luca Tomassini
Una formula nel calcolo di integrali multipli di funzioni di più variabili che stabilisce un legame tra un integrale (di volume) su un dominio n-dimensionale [...] divergenza di a(x). Notiamo che, indicando con il simbolo ∇=(∂/∂x1,...,∂/∂xn) l’operatore gradiente e con ( , ) l’usuale prodottoscalare in ℝn, si può scrivere diva(x)=(∇,a(x)). Il teorema della divergenza prende allora la forma
dove l’integrale a ...
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spazio di Fourier
Francesco Calogero
La trasformata di Fourier F(k) di una data funzione f(x) definita sull’intero asse reale e che si annulla (abbastanza rapidamente) all’infinito, f(±∞)=0, si definisce [...] segue:
[2a] formula
[2b] formula
dove x ≡(x1,...,xN) rispettivamente k≡(k1,...,kN) sono vettori a N dimensioni, il prodottoscalare k ∙x è definito nel modo consueto, ossia
[3] formula
e
[4] formula.
Osserviamo infine che l’introduzione del ...
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polinomio
polinòmio [Comp. di poli- e -nomio di binomio] [ANM] Somma di più monomi, detti termini del p., i cui coefficienti sono detti coefficienti del p.; grado di un p. rispetto a una variabile è [...] . a un certo intervallo (a,b) dell'asse reale, siano funzioni ortogonali in esso, cioè tali che il loro prodottoscalare sia nullo in (a,b); hanno varie applicazioni, per es. nell'analisi numerica. ◆ [ANM] P. sferico: v. equazioni differenziali ...
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divergenza
divergènza [Der. del lat. scient. moderno divergentia, dal part. pres. divergens -entis di divergere (J. Kepler, 1611), formato sul precedente devergere "allontanarsi", comp. di de- e vergere [...] "volgere" e quindi "l'allontanarsi"] [ALG] [ANM] Operatore vettoriale differenziale (simb. div oppure come prodottoscalare dell'operatore nabla) che, applicato al vettore di un campo, individua le sorgenti scalari di esso: v. campi, teoria classica ...
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spazio di Hilbert
Arrigo Cellina
Per poter enunciare il teorema di Pitagora nel piano, occorre definire quando due vettori sono tra loro ortogonali; ciò si ottiene dalla nozione di prodottoscalare [...] spazio di Hilbert ℋ è uno spazio di Banach che generalizza il normale piano euclideo, ossia su cui è definito un prodottoscalare. Si tratta di una funzione 〈∙,∙〉 da ℋ×ℋ in ℝ, con queste proprietà: (a) 〈∙,∙〉 è lineare in entrambe le variabili; (b) è ...
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TENSORIALE, ALGEBRA e ANALISI
Dionigi Galletto
Il calcolo t., sinonimo di calcolo differenziale assoluto (v. differenziale assoluto, calcolo, XII, p. 796; tensore, XXXIII, p. 497), i cui fondamenti [...] simmetrico) e non degenere prende il nome di "s. v. euclideo". Il valore g(v, w) (v, w ∈ En) prende il nome di "prodottoscalare" di v per w ed è indicato con v • w (= w • v). Considerata una qualunque base {ei} di En e introdotte le componenti gij ...
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scalare1
scalare1 agg. e s. m. [dal lat. scalaris, der. di scalae -arum «scala» (v. scala)]. – 1. agg., non com. Fatto o disposto a scala; più com. in senso fig., che cresce o decresce gradualmente, graduato in progressione. a. Detto delle...
prodotto2
prodótto2 s. m. [part. pass. sostantivato di produrre]. – 1. Genericam., tutto ciò che la terra produce o che costituisce il risultato di una qualsiasi attività umana: p. agricoli, vegetali; i p. della terra, del suolo, dei campi,...