spazio di Fourier
Francesco Calogero
La trasformata di Fourier F(k) di una data funzione f(x) definita sull’intero asse reale e che si annulla (abbastanza rapidamente) all’infinito, f(±∞)=0, si definisce [...] segue:
[2a] formula
[2b] formula
dove x ≡(x1,...,xN) rispettivamente k≡(k1,...,kN) sono vettori a N dimensioni, il prodottoscalare k ∙x è definito nel modo consueto, ossia
[3] formula
e
[4] formula.
Osserviamo infine che l’introduzione del ...
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Gram-Schmidt, metodo di ortogonalizzazione di
Gram-Schmidt, metodo di ortogonalizzazione di metodo che consente di costruire una successione di vettori {vn} ortogonali a partire da una successione di [...] norma del vettore x. Si ponga v1 = x1, quindi si determini λ21 in modo che v2 = x2 − λ21v1 sia ortogonale a v1: dal prodottoscalare (x2 − λ21v1, v1) = 0 si ottiene λ21 = (x2, v1)/(v1, v1). Ciò corrisponde a sottrarre da x2 la sua proiezione lungo l ...
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polinomio
polinòmio [Comp. di poli- e -nomio di binomio] [ANM] Somma di più monomi, detti termini del p., i cui coefficienti sono detti coefficienti del p.; grado di un p. rispetto a una variabile è [...] . a un certo intervallo (a,b) dell'asse reale, siano funzioni ortogonali in esso, cioè tali che il loro prodottoscalare sia nullo in (a,b); hanno varie applicazioni, per es. nell'analisi numerica. ◆ [ANM] P. sferico: v. equazioni differenziali ...
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gradiente
gradiente operatore differenziale vettoriale che esprime la variazione di una grandezza fisica definita nello spazio (per esempio, gradiente di pressione, gradiente termico ecc.). Nel calcolo [...] si esprime come
Per una funzione differenziabile vale la formula Dνƒ = ∇ƒ ⋅ v che esprime la derivata direzionale come prodottoscalare del gradiente per la direzione; dalla formula si vede come il gradiente sia il vettore che ha come direzione ...
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divergenza
divergènza [Der. del lat. scient. moderno divergentia, dal part. pres. divergens -entis di divergere (J. Kepler, 1611), formato sul precedente devergere "allontanarsi", comp. di de- e vergere [...] "volgere" e quindi "l'allontanarsi"] [ALG] [ANM] Operatore vettoriale differenziale (simb. div oppure come prodottoscalare dell'operatore nabla) che, applicato al vettore di un campo, individua le sorgenti scalari di esso: v. campi, teoria classica ...
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base ortogonale
base ortogonale in algebra lineare, base di uno spazio vettoriale, di dimensione finita e dotato di un prodottoscalare, formata da vettori mutuamente ortogonali, cioè tali che è nullo [...] 0], v3 = [0 0 1] è una base ortogonale (o meglio ortonormale in quanto |vi| = 1 per i = 1, 2, 3) per lo spazio vettoriale R3 dotato dell’usuale prodottoscalare. Per il teorema di → Sylvester, ogni spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un ...
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spazio normato
spazio normato spazio vettoriale V, reale o complesso, nel quale è definita una → norma || . ||: V → [0, +∞). Una norma su V induce una → metrica d(u, v) = ||u – v|| e, pertanto, definisce [...] normato in cui la norma soddisfa l’uguaglianza
è detto prehilbertiano, oppure hilbertiano se esso è completo. Ponendo
resta definito un prodotto interno, il prodottoscalare (x, y) appunto, e lo spazio assume la struttura di spazio euclideo. ...
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Green, lemma di
Green, lemma di in analisi, corollario delle formule di Green, detto anche teorema della divergenza e spesso considerato come autonomo lemma del calcolo vettoriale: consente di trasformare [...] V è il volume considerato, σ la superficie che lo racchiude, n la normale a essa diretta verso l’esterno e il segno ⋅ indica il prodottoscalare (il volume e la superficie sono anche indicati spesso rispettivamente con Ω e ∂Ω; → Green, formule di). ...
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Cauchy, disuguaglianza di
Cauchy, disuguaglianza di detta anche disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, assume le forme:
(per n-ple di numeri reali (a1, …, an) e (b1, …, bn))
(per n-ple di numeri complessi)
e [...] si interpreta introducendo il prodottoscalare (qui indicato come coppia di vettori in parentesi) e la norma euclidea, indicata con ‖…‖, tra i vettori x e y ∈ Rn (o Cn) come |(x, y)| ≤ ‖x‖ · ‖y‖.
La generalizzazione naturale allo spazio l 2 è
con {ak ...
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Bessel-Parseval, disuguaglianza di
Bessel-Parseval, disuguaglianza di in analisi, relazione che lega la norma di un elemento x di uno spazio di Hilbert X ai suoi coefficienti di Fourier rispetto a un [...] sistema di riferimento ortonormale assegnato {ek}. Tale disuguaglianza afferma che
dove (x, ek) indica il prodottoscalare di x e di ek. Geometricamente, la disuguaglianza significa che la somma dei quadrati delle proiezioni del vettore x su ...
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scalare1
scalare1 agg. e s. m. [dal lat. scalaris, der. di scalae -arum «scala» (v. scala)]. – 1. agg., non com. Fatto o disposto a scala; più com. in senso fig., che cresce o decresce gradualmente, graduato in progressione. a. Detto delle...
prodotto2
prodótto2 s. m. [part. pass. sostantivato di produrre]. – 1. Genericam., tutto ciò che la terra produce o che costituisce il risultato di una qualsiasi attività umana: p. agricoli, vegetali; i p. della terra, del suolo, dei campi,...