forma bilineare
forma bilineare in algebra lineare, applicazione ƒ che a ogni coppia di vettori v e w, rispettivamente appartenenti agli spazi vettoriali reali V e W, associa un numero reale, dotata [...] in quanto a partire da esse possono essere definite le forme quadratiche e oggetti di natura metrica come i prodotti scalari. Il prodottoscalare è infatti una forma bilineare simmetrica definita positiva (ossia tale che ƒ(v, v) > 0 per ogni v ...
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operatori hermitiani
Luca Tomassini
Sia A:ℋ→ℋ un operatore lineare continuo (limitato) di uno spazio di Hilbert in sé e siano (∙,∙) il prodottoscalare di ℋ e ∣∣∙∣∣ la norma da esso indotta. Fissato [...] P*. Se A:Vn→Vn è un operatore hermitiano di uno spazio di Hilbert di dimensione n (ovvero ℂn dotato del prodottoscalare ordinario) in sé, allora esistono proiezioni Pi e λi∈ℝ (gli autovalori di A, non tutti necessariamente distinti) tali che
formula ...
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ondine
ondine (in inglese wavelets) famiglia di funzioni che consentono di eseguire una analisi di tipo Fourier assai generale e versatile per le applicazioni (→ Fourier, trasformazione di). Un’ondina [...] cioè se risulta (ψj,k(x), ψl,m(x)) = δj,l δk,m, dove δ è il simbolo di → Kronecker e (u, ν) è il prodottoscalare in L2(R). La completezza del sistema significa che ogni funzione ƒ ∈ L2(R) può essere espressa da una serie
dove i coefficienti cj,k ...
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funzionale
funzionale applicazione da uno spazio astratto X* in un campo numerico K. Un funzionale si dice reale o complesso a seconda che K sia il campo reale (R) o il campo complesso (C). Per esempio, [...] costituito dai funzionali lineari e continui (→ dualità). Un funzionale ƒ in uno spazio di Hilbert X* coincide con il prodottoscalare per un opportuno elemento dello spazio, cioè: ƒ(x) = (x, a) per un opportuno elemento a ∈ X* (→ Riesz, teorema ...
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operatori compatti
Luca Tomassini
Operatori lineari su uno spazio di Hilbert ℋ vicini in un senso opportuno agli operatori di dimensione finita, ovvero agli operatori che mandano ℋ in un sottospazio [...] o completamente continuo se trasforma ogni insieme limitato in un insieme la cui chiusura nella topologia indotta dal prodottoscalare è compatta. In uno spazio di Hilbert a dimensione finita ogni operatore lineare è compatto, poiché trasforma ogni ...
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simbolo
simbolo (dal greco symbállein, «mettere insieme») in matematica, segno o scrittura che denota una grandezza oppure un’operazione, una relazione, un insieme, una struttura, una funzione ecc. Si [...] simboli diversi a seconda del contesto sottodisciplinare in cui esso è considerato (un tipico esempio è dato dalle molte modalità simboliche con cui è indicato il prodottoscalare). Per un riepilogo si vedano le tavole delle Notazioni simboliche. ...
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dimensione
dimensione termine usato in matematica con significati diversi. In geometria elementare, con il termine si indica ciascuna delle misure che descrivono l’estensione di una figura: lunghezza, [...] spazi costruiti su una struttura di spazio vettoriale, come per esempio gli spazi euclidei, intesi come spazi vettoriali dotati di prodottoscalare. Essa è inoltre coerente con le definizioni date per spazi di dimensione minore o uguale a 3. In una ...
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metrica riemanniana
Luca Tomassini
Un tensore g di rango 2 definito su una varietà differenziabile n-dimensionale che sia covariante, simmetrico e definito positivo. In ogni spazio tangente TπMν nel [...] p∈Mν) la base locale ∂ι (i=1,…,n), le componenti di g prendono la forma gιξ=〈∂ι,∂ξ> così che
dove
Se il prodottoscalare 〈∙,∙> non è definito positivo ma semplicemente non degenere (ovvero 〈X,Y>=0 per ogni Y∈TπMν implica X=0), oltre che ...
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traccia
Luca Tomassini
Nel caso di un operatore lineare (matrice quadrata) di uno spazio vettoriale euclideo n-dimensionale in sé A=∣∣aij∣∣ (con aij numeri complessi e i,j=1,...,n), la traccia di A [...] . La generalizzazione del concetto di traccia al caso di spazi vettoriali di dimensione infinita dotati di prodottoscalare (di Hilbert) ℋ si è dimostrata uno strumento fondamentale nello studio delle sottoalgebre dell’algebra degli operatori ...
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teorema della divergenza
Luca Tomassini
Una formula nel calcolo di integrali multipli di funzioni di più variabili che stabilisce un legame tra un integrale (di volume) su un dominio n-dimensionale [...] divergenza di a(x). Notiamo che, indicando con il simbolo ∇=(∂/∂x1,...,∂/∂xn) l’operatore gradiente e con ( , ) l’usuale prodottoscalare in ℝn, si può scrivere diva(x)=(∇,a(x)). Il teorema della divergenza prende allora la forma
dove l’integrale a ...
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scalare1
scalare1 agg. e s. m. [dal lat. scalaris, der. di scalae -arum «scala» (v. scala)]. – 1. agg., non com. Fatto o disposto a scala; più com. in senso fig., che cresce o decresce gradualmente, graduato in progressione. a. Detto delle...
prodotto2
prodótto2 s. m. [part. pass. sostantivato di produrre]. – 1. Genericam., tutto ciò che la terra produce o che costituisce il risultato di una qualsiasi attività umana: p. agricoli, vegetali; i p. della terra, del suolo, dei campi,...