Riesz, teorema di rappresentazione di
Riesz, teorema di rappresentazione di identifica i funzionali lineari limitati su uno spazio di Hilbert come funzionali ottenuti come prodotti scalari per un opportuno [...] ƒ(x) = (x, yƒ) in cui la parentesi indica il prodottoscalare in X dei due vettori da essa racchiusi. Viceversa, per le proprietà del prodottoscalare, per ogni y appartenente a X, il prodottoscalare (x, y) è un funzionale lineare limitato su X. ...
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ortonormale
ortonormale [agg. Comp. di orto(gonale) e normalizzato] [ALG] Base o.: dato uno spazio lineare V dotato di una operazione di prodottoscalare (υi,υj), è una base (←) i cui elementi lj godono [...] della proprietà (li,lj)=δij. Analogamente, un insieme (o una successione, se V è di dimensione infinita) di vettori {ui} è detto o. se (ui,uj)=δij (→ base: B.di uno spazio vettoriale); quando gli elementi ...
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per
per simbolo (× o anche, il semplice puntino ⋅, ma spesso omesso) usato per indicare l’operazione di moltiplicazione tra numeri. Più in generale, spesso si indica con questo simbolo l’operazione di [...] × si indicano anche varie altre nozioni di prodotto, come per esempio il prodotto cartesiano tra insiemi o il prodotto vettoriale (il secondo è anche indicato con ∧); più raramente è utilizzato in letteratura anche per indicare il prodottoscalare. ...
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sistema ortonormale
sistema ortonormale insieme di vettori a due a due ortogonali e di norma unitaria in uno spazio dotato di prodottoscalare, per esempio, uno spazio di Hilbert (→ versore). Se esso [...] ne costituisce una base si dice che è un sistema completo: vale allora, per ogni vettore di X, l’uguaglianza di → Parseval. L’esempio più semplice è dato dai versori i, j, k degli assi di R3; in genere, ...
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sottospazio ortogonale
sottospazio ortogonale in algebra lineare, dati uno spazio vettoriale V su un campo K dotato di prodottoscalare, qui indicato con 〈 , 〉, e un suo sottoinsieme S, è il sottoinsieme [...] w di S, tali cioè che ∀v ∈ V, 〈w, v〉 = 0, che si dimostra essere un sottospazio di V. Due sottospazi U e W di V si dicono ortogonali se U ⊆ V ⊥ (e allora, per la simmetria del prodottoscalare, è anche V ⊆ U ⊥) (si veda anche → somma diretta). ...
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sesquilineare
sesquilineare [agg. Comp. di sesqui- e lineare] [ANM] Forma s.: funzione di due variabili S(x, y) che sia lineare in x, ossia S(λ₁x₁+λ₂x₂, y)=λ₁S(x₁, y)+λ₂S(x₂, y) e semilineare in y, ossia [...] S(x, λ₁y₁+λ₂y₂)=λ₁∗S(x, y₁)+λ₂∗S(x, y₂), dove λ∗ è il coniugato di λ rispetto a un'operazione di involuzione; una forma s. è, per es., il prodottoscalare definito su uno spazio complesso. ...
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operazione esterna
operazione esterna in algebra, legge di composizione in cui almeno uno degli operandi o il risultato non appartengono allo stesso insieme. Può essere esterna in diversi modi: per esempio, [...] nella moltiplicazione di uno scalare per un vettore, il cui risultato è un vettore, l’elemento “esterno” è uno degli operandi, lo scalare. Nel prodottoscalare tra vettori, l’elemento “esterno” è invece il risultato (→ composizione, legge di). ...
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vettori ortogonali
vettori ortogonali o perpendicolari, in uno spazio vettoriale euclideo, coppia di vettori con direzioni perpendicolari. Il prodottoscalare di due vettori ortogonali è uguale a zero. [...] Il vettore nullo 0, avendo direzione indeterminata, è perpendicolare a ogni vettore, compreso sé stesso. Un vettore ortogonale a sé stesso è detto → vettore isotropo ...
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subdifferenziale
subdifferenziale in analisi, e in particolare nello studio delle funzioni convesse, per una funzione ƒ: Rn → R, convessa e non necessariamente differenziabile, è definito, relativamente [...] a un punto x0 come l’insieme
Ogni elemento g è detto → subgradiente in x0 (il puntino indica il prodottoscalare tra g e (x − x0)). ...
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sesquilineare
sesquilineare forma binaria
lineare nel primo fattore e antilineare nel secondo. Risulta, cioè, ∀λi, μk ∈ C, ∀xi ∈ X, ∀yk ∈ Y:
e
formula
essendo μ̅k il coniugato di μk. Una tipica forma [...] sesquilineare è il prodottoscalare in uno spazio prehilbertiano. ...
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scalare1
scalare1 agg. e s. m. [dal lat. scalaris, der. di scalae -arum «scala» (v. scala)]. – 1. agg., non com. Fatto o disposto a scala; più com. in senso fig., che cresce o decresce gradualmente, graduato in progressione. a. Detto delle...
prodotto2
prodótto2 s. m. [part. pass. sostantivato di produrre]. – 1. Genericam., tutto ciò che la terra produce o che costituisce il risultato di una qualsiasi attività umana: p. agricoli, vegetali; i p. della terra, del suolo, dei campi,...