normanorma applicazione ‖...‖: V → [0, +∞) definita su uno spazio vettoriale reale o complesso e caratterizzata dalle seguenti proprietà:
• ‖v‖ ≥ 0, ∀v ∈ V e ‖v‖ = 0 se e solo se v = 0;
• ‖k ⋅ v‖ = [...] la prima delle due disuguaglianze precedenti valga come uguaglianza. Per ogni norma vettoriale esiste almeno una norma indotta,
detta norma naturale: per esempio la normaeuclidea induce la norma naturale
dove AT indica la trasposta di A e λ è ...
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I m. c. permettono di risolvere con calcolatori elettronici, all'interno delle scienze applicate, i problemi complessi che sono formulabili tramite il linguaggio della matematica. Tali problemi raramente [...] algoritmo numerico), e r=b−Ax è il residuo a essa associato, si può facilmente verificare che
,
dove ∥∙∥ indica la normaeuclidea, e K(A) è il numero di condizionamento della matrice (se A è una matrice simmetrica con autovalori reali positivi, K ...
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L'a. l. costituisce uno strumento matematico di importanza fondamentale in ogni disciplina scientifica. Essa costituisce sia un efficace linguaggio comune con cui formulare problemi di natura diversa, [...] di un sistema lineare Ax=b al caso in cui A è m×n; consistono nel determinare un vettore x che minimizza la normaeuclidea ||Ax−b||. Se A ha rango massimo, il problema si riduce alla risoluzione del sistema delle equazioni normali. I metodi di ...
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Variazioni, calcolo delle
Giuseppe Buttazzo
Gianni Dal Maso e Ennio De Giorgi
SOMMARIO: 1. Introduzione. 2. Alcuni esempi storici: a) il problema isoperimetrico; b) il principio di Fermat e le leggi [...] 1 e due costanti c0 > 0 e c1 > 0 tali che
f (x, y, η) ≥ c0 ∣ η ∣p - c1 (∣y∣ + 1),
dove ∣η∣ indica la normaeuclidea del vettore η = (η1, ..., ηn), definita da ∣η∣ = (Σi ∣ ηi ∣2)1/2. Allora il funzionale F è semicontinuo inferiormente su W1,p (Ω ...
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La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] rispetto a (y,η), sia convessa rispetto a η, e che valga la [9] con un esponente p>1, dove ∣η∣ è ora la normaeuclidea del vettore η=(η1,…,ηn), definita da ∣η∣2=∣η1∣2+…+∣ηn∣2. Il funzionale F è allora semicontinuo inferiormente su W1,p(ω) rispetto ...
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Computazionali, metodi
Alfio Quarteroni
I metodi computazionali permettono di risolvere con i computer, nell'ambito delle scienze applicate, problemi complessi formulabili tramite il linguaggio della [...] b−Ax− è il residuo a essa associato, si può facilmente verificare che ∥x−x−∥/∥x∥≤K(A)∥r∥/∥b∥, dove ∥∙∥ indica la normaeuclidea e K(A) è il numero di condizionamento della matrice (se A è una matrice simmetrica con autovalori reali positivi K(A)=λmax ...
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vettore
vettore nozione suggerita originariamente dallo studio di grandezze fisiche, quali velocità, accelerazione, forza ecc. (dette grandezze vettoriali) la cui descrizione non può esaurirsi in un [...]
Si osservi che, nell’ambito dell’algebra lineare, il modulo di un vettore è una particolare → norma (normaeuclidea) e per questo si parla spesso di norma di un vettore v (indicata con ‖v‖), anziché di modulo.
Operazioni tra vettori
Tra i vettori ...
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Cauchy, disuguaglianza di
Cauchy, disuguaglianza di detta anche disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, assume le forme:
(per n-ple di numeri reali (a1, …, an) e (b1, …, bn))
(per n-ple di numeri complessi)
e [...] si interpreta introducendo il prodotto scalare (qui indicato come coppia di vettori in parentesi) e la normaeuclidea, indicata con ‖…‖, tra i vettori x e y ∈ Rn (o Cn) come |(x, y)| ≤ ‖x‖ · ‖y‖.
La generalizzazione naturale allo spazio l 2 è
con {ak ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. L'analisi numerica
Paolo Zellini
L'analisi numerica
L'analisi numerica moderna comincia a delinearsi verso la metà del XX sec., con le prime [...] di Turing, Rounding-off errors in matrix processes (1948), poco dopo il contributo di von Neumann e Goldstine. In normaeuclidea lo stesso prodotto è uguale, per matrici definite positive, precisamente al rapporto λ/μ, per cui si può affermare che ...
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normale
normale in geometria, sinonimo di perpendicolare, dall’etimo di «norma», che significa «squadra». Espressioni quali «retta normale a un’altra retta» o «retta normale a un piano» riprendono questo [...] derivate parziali delle σi calcolate rispetto a u e a v, con × il prodotto vettoriale e con ‖...‖ la normaeuclidea.
□ L’aggettivo «normale» è frequentemente utilizzato nella teoria delle equazioni per indicare, tra le infinite forme equivalenti che ...
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norma
nòrma s. f. [dal lat. norma «squadra» (come strumento) e fig. «regola»]. – 1. In origine, con sign. non più in uso, strumento adoperato da tecnici e operai per tracciare misure e rapporti di linee e di angoli; squadra: fare a norma,...
spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...