morfismi
Luca Tomassini
Elementi appartenenti a un’arbitraria categoria che hanno il ruolo di mappe da un oggetto all’altro. Spesso, è utilizzata la definizione alternativa di freccia. Esempi di morfismi [...] α con β,β′∈HomC(B,C) implica β=β′, bimorfismo se è contemporanemente un epimorfismo e un monomorfismo. Un isomorfismo α:A→B è un morfismo dotato di inverso α−1:B→A, ovvero αα−1=idΒ e α−1α=idΑ. Un isomorfismo è sempre un bimorfismo ma il viceversa non ...
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modulo proiettivo
Luca Tomassini
Classe di tutti i moduli su un fissato anello A con omomorfismi di moduli come morfismi (frecce) forma una categoria abeliana, usualmente indicata con i simboli A-mod [...] esempio di moduli proiettivi è fornito dai cosiddetti moduli liberi. Ogni A-modulo è inoltre immagine per un morfismo suriettivo (epimorfismo) di un A-modulo proiettivo. I moduli proiettivi sono dunque in un senso specifico universali.
→ Geometria ...
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equivalenza categorica
Luca Tomassini
Una categoria C è composta da: (a) una classe ObC (non necessariamente un insieme, dunque) di oggetti, per esempio enti matematici (gruppi o loro rappresentazioni, [...] F e G sono funtori dalla categoria C alla categoria D, una trasformazione naturale η:F→G è un’applicazione che assegna a ogni oggetto A di C un morfismo ηΑ:F(A)→G(A) in D tale che per ogni α:A→B in C è verificata l’uguaglianza G(α)°ηΑ=ηΒ°F(α). Se ηΑ ...
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In matematica, trasformazione di una categoria C in un’altra categoria D, definita da una coppia di ‘funzioni’, ϕ e ψ, tali che: a) se A, B, ... indicano ‘oggetti’ di C, ϕ(A), ϕ(B) ... sono ‘oggetti’ ben [...] e terminale rispettivamente A e B, deve risultare ψ (g): ϕ(A)→ϕ(B), oppure ψ(g): ϕ(B)→ϕ(A). Cioè ψ(g) è un morfismo di D avente ϕ(A) e ϕ(B) come oggetti originale e terminale, oppure terminale e originale; d) ϕ conserva gli elementi neutri e la ...
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categoria
categoria [Der. del lat. categoria, dal gr. kategoría "attributo"] [ALG] Nell'algebra astratta, struttura algebrica costruita nel modo seguente. Sia data una famiglia M di enti matematici (detta [...] composto g✄f; (b) dati f,g,h∈Hom(x,y) si ha (h°g)°f=h°(g°f); (c) per ogni oggetto x∈M esiste un morfismo 1x:x→x tale che per ogni morfismo f:x→y e per ogni morfismo g:z→x si ha f°1x=f, 1x°g=g; (d) Hom(x,y)⋂Hom(x',y')=0/ a meno che non sia x=x' e y ...
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oggetto
oggètto [Der. del lat. obiectum "che è posto innanzi", neutro sostantivato del part. pass. obiectus di obicere "mettere davanti"] [LSF] Ogni cosa che cade sotto i sensi dell'Uomo e per ciò stesso [...] è fisicamente osservabile. ◆ [ALG] Nella teoria delle categorie, ogni elemento dell'insieme su cui sono definiti i morfismi: → categoria. ◆ [OTT] Relativ. a un sistema o dispositivo ottico, ogni punto (anche punto-o.) da cui provengono o sembrano ...
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isomorfismo
Luca Tomassini
Corrispondenza o relazione tra enti matematici o sistemi di enti matematici che esprime l’identità delle loro strutture in un senso opportuno. Un isomorfismo in una categoria [...] φ−1 tale che φ−1φ e φφ−1 siano entrambi uguali al morfismo identità. Per es., nella categoria i cui oggetti sono spazi topologici e i morfismi (frecce) applicazioni continue, un isomorfismo è un’applicazione iniettiva (uno a uno) e suriettiva ...
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Algebra
Irving Kaplansky
sommario: 1. Introduzione. 2. Gruppi in generale. 3. Gruppi semplici finiti. 4. Gruppi infiniti. 5. Gruppi liberi. 6. Gruppi abeliani infiniti. 7. Anelli in generale. 8. Corpi. [...] ; un funtore F da C a D assegna ad ogni oggetto A in C un oggetto FA in D e ad ogni morfismo f:A→B un morfismo Ff:FA→FB. Si richiede inoltre che F conservi prodotti e identità. Più esattamente F è un funtore covariante. Un funtore controvariante ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Algebra
Claudio Procesi
Algebra
Per comprendere la storia dell'algebra del XX sec. è necessario fare un breve quadro dello sviluppo della disciplina [...] abbia dfi=fi−1d. Un'importante nozione è quella di successione esatta di complessi ovvero una successione di tre complessi Ci, Di, Ei e morfismi Fi:Ci→Di e Gi:Di→Ei per cui Ci sia il nucleo di Gi e Gi sia suriettiva. Una successione esatta si indica ...
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gruppi di coomologia dei fasci
Fabrizio Andreatta
Sia X uno spazio topologico. Dato una fascio F di gruppi abeliani su X, sia H0(X,F) il gruppo abeliano delle sezioni globali di F su X. Il funtore che [...] +2 coincide con l’immagine di Ai→Ai+1. In secondo luogo si chiede che esista una classe C di fasci tali che ogni fascio F ammetta un morfismo iniettivo F→G per un qualche G in C e Hq(X,G) si annulli per q positivo e G in C. Esempi di tali classi sono ...
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-morfismo
[der. di -morfo]. – Secondo elemento di nomi composti che costituiscono solitamente l’astratto dei corrispondenti aggettivi in -morfo (per es., allomorfismo, isomorfismo, ecc.).
morfismo
s. m. [sostantivazione del suffissoide -morfismo, enucleato da composti come omomorfismo, omeomorfismo, ecc.]. – Ente matematico associato alle coppie di «oggetti» di una data categoria; più precisamente, nozione astratta e di grande...