La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] su [a,b].
In base a un classico teorema di Henri-Léon Lebesgue (1875-1941), ogni funzione u di AC([a,b]) è derivabile in tutti i punti di [a,b], eccettuato al più un insieme di punti dimisura unidimensionale nulla, e quindi F(u) è ben definito ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La topologia degli insiemi di punti
Roger Cooke
Brian Griffith
La topologia degli insiemi di punti
La topologia generale o topologia degli insiemi [...] funzione continua in un intervallo chiuso è uniformemente continua.
La teoria della misuradi Borel e quella dell'integrale diLebesgue, presentavano, rispetto alla costruzione di Riemann, il vantaggio decisivo della facilità con la quale si potevano ...
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integrale
integrale termine, introdotto da Jakob Bernoulli nel 1695, usato per indicare una delle nozioni fondamentali dell’analisi matematica, collegata sia al problema della determinazione dell’area [...] T.J. Stieltjes. Infine, una più generale definizione di integrale, direttamente connessa al problema teorico della misura, fu proposta all’inizio del secolo da H. Lebesgue. I due tipi di problemi che hanno portato alle prime formulazioni del calcolo ...
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insieme misurabile
insieme misurabile nozione che si è definita nel tempo in modo sempre più ricco. Se nell’antichità la nozione di area (per esempio, nel caso bidimensionale) era considerata intuitiva, [...] Per ovviare a tale difetto si deve far ricorso a un successivo ampliamento del concetto, dovuto a H. Lebesgue. Partendo dalle precedenti definizioni dimisura per insiemi aperti A e chiusi T, preso un insieme limitato qualsiasi E se ne definiscono la ...
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Vitali, funzione di
Vitali, funzione di esempio di funzione uniformemente ma non assolutamente continua. Per costruirla, si segua il procedimento che conduce alla cosiddetta polvere di → Cantor. Nel [...] che C ha la cardinalità del continuo, essendo l’immagine di A numerabile. La sua derivata esiste in A, e quindi quasi ovunque in [0, 1], e vale 0; tuttavia non si ha
perché tale integrale, che esiste nel senso diLebesgue, è identicamente nullo. ...
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Riemann, integrale di
Riemann, integrale di o integrale di Cauchy-Riemann, generalizzazione della nozione di → integrale definito secondo Cauchy, ottenuta non richiedendo a priori che la funzione integranda [...] sono date dal criterio diLebesgue-Vitali, secondo cui condizione necessaria e sufficiente perché una funzione limitata in un intervallo [a, b] sia integrabile è che l’insieme dei suoi punti di discontinuità abbia misura nulla. Per esempio, la ...
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Fatou, lemma di
Fatou, lemma di in teoria della misura, asserisce che, per una successione di funzioni fn misurabili secondo Lebesgue non negative, vale la seguente disuguaglianza:
ovvero stabilisce [...] una disuguaglianza tra l’integrale (diLebesgue) del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. ...
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Regola di condotta, stabilita d’autorità o convenuta di comune accordo e di origine consuetudinaria, che ha per fine di guidare il comportamento dei singoli o della collettività, di regolare un’attività [...] misura la capacità contributiva manifestataa dal presupposto), nelle modalità di calcolo dell’imposta. Le n. di carattere sostanziale, a differenza delle n. didiLebesgue Ln delle funzioni a potenza n-esima sommabile su un dominio Ω la n. di una ...
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INTEGRAZIONE E MISURA
Giorgio Letta
. La moderna teoria dell'i. si occupa del concetto generale di "misura" e del concetto di "integrale" relativo a un'arbitraria misura. Essa costituisce una notevole [...] a μ ⊗ ν il teorema diLebesgue-Fubini consente di ricondurre il relativo integrale a un "integrale iterato". La definizione di prodotto si estende agevolmente al caso di n misure. si può allora definire la m. di Borel-Lebesgue in Rn come il prodotto ...
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VOLUME
Giuseppe SCORZA DRAGONI
La nozione di volume è per i solidi, cioè per le porzioni di spazio delimitate da superficie (semplici, chiuse e regolari), l'analogo di quello che la nozione di area [...]
Se poi si fa uso della nozione di integrale diLebesgue (v. integrale, calcolo, n. 22), allora gl'insiemi di punti per cui la funzione caratteristica è integrabile (sommabile) sono insiemi misurabili secondo Lebesgue, e come loro volume si assume il ...
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