modulo di continuita
modulo di continuità in analisi, nella definizione di continuità di una funzione ƒ(x) reale in una variabile reale, è la quantità δ = δ(ε, x0) che compare nella condizione:
che [...] F, essendo E e F spazi metrici: il modulo di continuità è una funzione numerica φ crescente definita in [0, +∞) tale che:
Se ƒ ammette un modulo di continuità lineare, del tipo φ(u) = cu, con c > 0, la funzione ƒ è una → funzione lipschitziana. ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Calcolo delle variazioni
Craig Fraser
Mario Miranda
Calcolo delle variazioni
Tra il 1870 e il 1920 si assiste al consolidamento degli argomenti [...] , cioè
per ogni x∈ℝn e per ogni λ=(λ1,...λν)∈ℝn−{0}.
Per ogni aperto limitato Ω di ℝn e per ogni funzione lipschitziana u, si può calcolare l'integrale
e considerare il problema di minimizzarne il valore sotto la condizione u=φ su ∂Ω, dove φ è ...
Leggi Tutto
FUNZIONALE, ANALISI (v. funzionali, XVI, p. 180)
Tullio Viola
Portano questo nome gli sviluppi più moderni dell'analisi matematica, generati dalla fecondazione che le teorie classiche hanno ricevuto [...] Si avrà, per il teorema della media,
Posto M = estr. sup. ∣ f ′(x) ∣〈 + ∞ (S-104???x ∈ [a, b]), risulta
La f (x) è dunque lipschitziana in [a, b] ed è anzi ivi una contrazione nell'ipotesi M 〈 1. Se a tale ipotesi si aggiunge quella che l'immagine f ...
Leggi Tutto
ottimizzazione non smooth
Angelo Guerraggio
Teoria e metodi dell’ottimizzazione che utilizzano ipotesi più deboli di quella classica di differenziabilità (secondo Fréchet). La ricerca di una definizione [...] , sod- disfa cioè la condizione ∣f(x)−f(y)∣≤k∣∣x−y ∣∣ per ogni x e y (con k positivo). Per le funzioni lipschitziane, viene chiamato gradiente generalizzato l’insieme dei vettori y tali che f0(x,d)≥y∙d per ogni direzione d. La derivata f0 (che in ...
Leggi Tutto
problema ben posto
problema ben posto nozione formulata da J. Hadamard aggiungendo alle usuali richieste di esistenza e unicità della soluzione quella di dipendenza continua dai dati. Per precisare questa [...] . Per esempio, il problema di Dirichlet u = g su ∂Ω per l’equazione di Laplace Δu = 0 in un dominio Ω a frontiera ∂Ω lipschitziana è ben posto se si sceglie X = C0(Ω̅), D = C0(∂Ω), con le norme del massimo. La norma del massimo in uno spazio X ...
Leggi Tutto
Convessità
Arrigo Cellina
La convessità è un concetto della matematica elementare; le parole concavo e convesso fanno parte del linguaggio quotidiano. Eppure questo semplice concetto, unito ad altre [...] punti su cui prende valore finito. In ℝn si ha che una funzione convessa V è continua, addirittura, localmente lipschitziana, in ogni punto interno al suo dominio effettivo. Quindi nei punti interni al suo dominio effettivo V è differenziabile quasi ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Equazioni differenziali ordinarie
Jean Mawhin
Equazioni differenziali ordinarie
Accanto a sostanziali progressi nella teoria delle equazioni [...] ai limiti del tipo:
[19] x"=f (t,x,x'), x(a)=x(b)=0,
quando la funzione continua f è globalmente lipschitziana in (x,x′), con costanti rispettivamente L e M. Con il metodo delle approssimazioni successive Picard dimostra, nel 1896, l'esistenza e l ...
Leggi Tutto
Computazionali, metodi
Alfio Quarteroni
I metodi computazionali permettono di risolvere con i computer, nell'ambito delle scienze applicate, problemi complessi formulabili tramite il linguaggio della [...] l'equazione differenziale ordinaria al prim'ordine y′(x)=f (x,y (x)), per x≥x0, con un dato iniziale y(x0)=y0. Supporremo f lipschitziana rispetto all'argomento y in un intorno di (x0,y0), ovvero che esista una costante L>0 tale che ∣f(x,y1)−f(x ...
Leggi Tutto
I m. c. permettono di risolvere con calcolatori elettronici, all'interno delle scienze applicate, i problemi complessi che sono formulabili tramite il linguaggio della matematica. Tali problemi raramente [...] 'equazione differenziale ordinaria del prim'ordine y′(x)=f(x,y(x)), per x≥x₀, con un dato iniziale y(x₀)=y₀. Supporremo f lipschitziana rispetto all'argomento y in un intorno di (x₀,y₀) ovvero supporremo che esista una costante L>0 tale che ∣f(x,y ...
Leggi Tutto
MATEMATICA NON COMMUTATIVA
La seconda metà del 20° secolo ha visto lo sviluppo di una molteplicità di ricerche matematiche, alcune motivate da considerazioni puramente interne, altre ispirate da problemi [...] dimostrare che la distanza geodetica tra due punti p,q[M è:
d(p,q)5sup{|a(p)2a(q)|;a[!, a è lipschitziana}
D'altra parte è noto che a[! è lipschitziana se e solo se il commutatore [a,D] (inteso in senso debole: ,a*Í,DË.2,DÍ,aË., dove Í,Ë sono ...
Leggi Tutto