L'Ottocento: astronomia. La meccanica celeste dopo Laplace: la teoria di Hamilton-Jacobi
Craig Fraser
Michiyo Nakane
La meccanica celeste dopo Laplace: la teoria di Hamilton-Jacobi
La teoria di Hamilton-Jacobi, [...] mai specificata in modo chiaro, potrebbe essere stato non del tutto consapevole ‒ è quella di considerare un integraledefinito come una quantità che viene calcolata lungo una delle curve che rappresentano le soluzioni delle corrispondenti equazioni ...
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L'Ottocento: matematica. Calcolo delle variazioni
Craig Fraser
Calcolo delle variazioni
Il problema di Euler
Nel 1744 Leonhard Euler formulò il problema principale del calcolo delle variazioni nei [...] insieme di curve, quella particolare curva y=y(x), detta in seguito da Adolf Kneser 'curva estremale', che rende massimo o minimo l'integraledefinito:
ove x varia nell'intervallo [a,b] e y(k) (1≤k≤n) è la derivata di ordine k della funzione y. In ...
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Cavalieri-Simpson, approssimazione di
Cavalieri-Simpson, approssimazione di fornisce la formula finale del metodo di Cavalieri-Simpson, utilizzata per calcolare numericamente l’integraledefinito
di [...] empirici, il più noto dei quali è il cosiddetto metodo del dimezzamento del passo: dopo aver ottenuto un’approssimazione I1 dell’integrale, si calcola un’ulteriore approssimazione I2, dimezzando il passo di integrazione da h a h/2. Si dimostra che l ...
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Riemann, integrale di
Riemann, integrale di o integrale di Cauchy-Riemann, generalizzazione della nozione di → integraledefinito secondo Cauchy, ottenuta non richiedendo a priori che la funzione integranda [...] e quindi differenza di funzioni monotone. Spesso, data una funzione reale ƒ(x) in un intervallo [a, b], per definireintegraledefinito di ƒ(x), si considera una suddivisione dell’intervallo [a, b] in sottointervalli [xi−1, xi] di ampiezza massima ...
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rettangoli, metodo dei
rettangoli, metodo dei metodo di integrazione numerica consistente nell’approssimare l’integraledefinito
con n rettangoli aventi come base sottointervalli dell’intervallo [a, [...] non risulti inferiore a un errore δ fissato. In tale caso si sceglie come valore attendibile per l’integraledefinito il valore di
diminuendo così ulteriormente l’errore commesso. Per la valutazione analitica dell’errore si può considerare ...
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isoperimetria
isoperimetria relazione che lega due figure del piano (dette figure isoperimetriche o semplicemente isoperimetri) aventi lo stesso perimetro. Il problema classico dell’isoperimetria è quello [...] soddisfano a certe condizioni ai limiti e fanno assumere a un dato integraledefinito il medesimo valore, quella che rende minimo (o massimo) un altro assegnato integraledefinito. Quello degli isoperimetri è un esempio di problema di calcolo delle ...
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rettangolo
rettàngolo [agg. e s.m. Der. del lat. rectangulus o rectiangulus, comp. di rectus "retto" e angulus "angolo"] [ALG] Di ogni figura geometrica piana dotata di uno o più angoli retti: triangolo [...] scritti negli m rettangolini di ciascuna colonna. ◆ [ANM] Formula dei r.: formula che permette il calcolo approssimato di un integraledefinito di una funzione continua: v. calcolo numerico: I 408 b. ◆ [ALG] Parallelepipedo r.: quello nel quale i tre ...
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trapezio
trapezio nella geometria del piano, quadrilatero con due lati paralleli. Se anche gli altri due lati sono paralleli è un parallelogramma. Il termine trapezio viene tuttavia generalmente riservato [...] trapezoide indica un quadrilatero con due lati paralleli e due non paralleli. Oggi, nel contesto dell’analisi matematica, il termine trapezoide indica la regione piana sottesa al grafico di una funzione in un dato intervallo (→ integraledefinito). ...
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tangenti, metodo delle
tangenti, metodo delle (per il calcolo di un integraledefinito) metodo numerico per il calcolo approssimato dell’integraledefinito
la cui formula di approssimazione è
dove [...] migliora fortemente. Si dimostra che la formula delle tangenti tende più rapidamente al valore dell’integraledefinito rispetto a quella generata dalle successioni ottenute con il metodo dei rettangoli. Nella costruzione dell’algoritmo ...
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trapezi, metodo dei
trapezi, metodo dei metodo numerico per il calcolo approssimato dell’integraledefinito di una funzione ƒ(x) nell’intervallo [a, b] (→ integrazione numerica). Per ogni suddivisione [...] e basi ƒ(xi−1) e ƒ(xi). La sua area è, quindi:
Si ottiene la formula di approssimazione con i trapezi dell’integraledefinito
con
Posto h = (b − a)/n la formula può essere riscritta come
o equivalentemente
La rapidità con cui la successione ...
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integrale
agg. e s. m. [dal lat. tardo integralis, der. di intĕger «integro, intero»]. – 1. agg., non com. Di elemento che fa parte di un tutto, che concorre alla costituzione di un intero (sinon. quindi di integrante): i corpi i. del mondo...
integralismo
s. m. [der. di integrale]. – In senso ampio, ogni concezione che, in campo politico (ma anche sociale, economico, culturale), tenda a promuovere un sistema unitario, ad abolire cioè una pluralità di ideologie e di programmi, sia...