L'Ottocento: matematica. Le origini della teoria dei gruppi
Jeremy Gray
Le origini della teoria dei gruppi
La teoria di Galois e la soluzione algebrica delle equazioni algebriche
La teoria di Galois [...] sia stato il primo a fornire la definizione astratta di gruppocommutativo finito (un gruppo per cui AB=BA per ogni coppia di suoi elementi A e B). Anche Richard Dedekind sviluppò l'idea di gruppo astratto nel contesto della teoria di Galois. Come ha ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Il Bourbakismo
Jean-Paul Pier
Il Bourbakismo
L'avvento e l'influenza di Bourbaki costituiscono uno dei fenomeni più sorprendenti nella matematica [...] affini e le applicazioni lineari affini. Si arriva quindi allo studio delle matrici, considerate in particolare su un gruppocommutativo o su un anello e in relazione alle applicazioni lineari. Si discutono le matrici quadrate, diagonali, monomiali e ...
Leggi Tutto
Gli insiemi numerici
Angelo Guerraggio
Gli insiemi numerici
Gli insiemi numerici più importanti sono quelli dei numeri naturali, dei numeri interi, dei numeri razionali, dei numeri reali, dei numeri [...] additivo di ogni suo elemento (l’opposto dell’elemento considerato); inoltre l’addizione soddisfa la proprietà commutativa e quindi Z(+) è un gruppocommutativo. Per Z si può fare la stessa osservazione critica avanzata per N: è sempre possibile ...
Leggi Tutto
anello
anello struttura algebrica in cui due operazioni, dette generalmente addizione e moltiplicazione (ma, con abuso di linguaggio, anche somma e prodotto), godono di determinate proprietà le quali [...] operazioni binarie definite su A e rispetto alle quali esso è chiuso, tali che la coppia (A, +) è un gruppocommutativo (detto gruppo additivo dell’anello) e la coppia (A, ·) è un semigruppo. È inoltre richiesto che le due strutture siano compatibili ...
Leggi Tutto
curva ellittica
curva ellittica curva proiettiva piana E definita da un’equazione del tipo y2 = x3 + ax + b con a e b tali che il discriminante δE = 4a3 + 27b2 ≠ 0. Se E è una curva ellittica definita [...] razionali, l’insieme E(Q) formato dalle soluzioni razionali della sua equazione con l’aggiunta del punto improprio Ω, ha la struttura di gruppocommutativo con elemento neutro Ω. Tre punti P, Q e R di E(Q) hanno somma Ω se e solo se appartengono alla ...
Leggi Tutto
Birch e Swinnerton-Dyer, congettura di
Birch e Swinnerton-Dyer, congettura di uno dei sette → problemi del millennio. Come per altri analoghi problemi, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è stata [...] con l’aggiunta del punto improprio Ω, ha la struttura di gruppocommutativo con elemento neutro Ω. Tale gruppo è finitamente generato ed è esprimibile come somma di un gruppo finito e di un gruppo della forma ZrE dove rE è detto rango della curva ...
Leggi Tutto
struttura algebrica
struttura algebrica struttura di cui è dotato un insieme non vuoto A, costituito da elementi di natura arbitraria, se su di esso sono definite una o più operazioni, interne o esterne. [...] operazioni binarie interne su di esso, con #: A × A → A e ∗: A × A → A, è detta → anello se (A, #) è un gruppocommutativo, (A, ∗) è un semigruppo e le due strutture sono compatibili nel senso che ∗ è distributiva rispetto a #. L’insieme dei numeri ...
Leggi Tutto
quoziente
quoziente risultato dell’operazione di divisione. Di due numeri a (dividendo) e b ≠ 0 (divisore) è il numero c tale che b ⋅ c = a; esso è univocamente definito ed è anche indicato con i simboli [...] di G per H (o modulo H) ed è indicato con il simbolo G /H. Se G è un gruppocommutativo, allora anche G /H lo è; se G è un gruppo finito, allora l’ordine del gruppo quoziente G /H coincide con l’indice di H in G. Rispetto alle rispettive strutture di ...
Leggi Tutto
Dedekind, sezione di
Dedekind, sezione di o taglio di Dedekind, nozione introdotta da R. Dedekind alla fine del secolo xix nell’intento di precisare il concetto di ordinamento continuo e fornire una [...] appartenga ad A. Se (A, B) e (C, D) sono due sezioni di Dedekind, si definisce allora
tale operazione rende R un gruppocommutativo, con elemento neutro la sezione nulla 0 = (Q− ∪ {0}, Q+) (dove il primo termine della coppia è l’unione dell’insieme ...
Leggi Tutto
ampliamento
ampliamento procedura che permette di costruire un insieme numerico più ampio e che gode di maggiori proprietà rispetto all’insieme di partenza. In generale, dato un insieme I con una o più [...] proprietà della definizione di ampliamento. D’altra parte Z è un anello commutativo unitario (è cioè un gruppocommutativo rispetto alla somma, è un monoide commutativo rispetto al prodotto e le due operazioni sono legate dalle proprietà distributive ...
Leggi Tutto
commutativo
agg. [der. di commutare]. – 1. Che commuta o è relativo al commutare: giustizia c., che consiste nel rendere il corrispondente di quello che si riceve. In diritto, contratto c., quello in cui le prestazioni reciproche sono stabilite...
gruppo
s. m. [dal germ. kruppa]. – 1. Insieme di più cose o persone, distinte l’una dall’altra, ma riunite insieme in modo da formare un tutto: un g. di case, di persone; un g. di stelle; un g. d’aziende; g. familiare, costituito dai membri...