teoria di Lebesgue
Luca Tomassini
Complesso di idee e metodi che, sviluppatisi a partire dai lavori di Henri Lebesgue all’inizio del secolo scorso, vanno oggi sotto il nome di teoria della misura e [...] , oggi detta di Lebesgue. Il passo successivo è la definizione di funzione (sulla retta reale e a valori reali) misurabile, sostanzialmente una funzionef tale che la controimmaggine f−1([a,b]) di un intervallo [a,b] sia un insieme misurabile (se ...
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prolungamento
prolungamento di una funzioneƒ(x) è una funzione g(x) avente un dominio più esteso di ƒ(x) e coincidente con essa sul dominio di ƒ. La nozione vale sia nel caso di una variabile sia nel [...] + T) si ottiene ponendo ƒ(x + nT) = ƒ(x), ∀x ∈ [a, a + T) e ∀n ∈ Z;
• il prolungamento a R di una funzione definita sui razionali e continua su Q. Tipicamente, un modo di definire la potenza a base a positiva ed esponente reale x è quello di definire ...
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illimitato
illimitato aggettivo che può riferirsi a diversi oggetti denotando il fatto che, in qualche senso da specificare, essi non hanno “confini”.
☐ Per un numero reale, il suo sviluppo decimale [...] un intervallo di numeri reali (a, b) è illimitato se a oppure b oppure entrambi non sono numeri reali ma sono rispettivamente i a) l’intervallo è illimitato superiormente. Analogamente, una funzioneƒ si dice illimitata su un sottoinsieme E del suo ...
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stima asintotica
Luca Tomassini
Due funzionif(x) e g(x) sulla retta reale ℝ sono dette asintoticamente uguali per x→x0 se in qualche intorno del punto x0 (con l’eccezione di x0 stesso) si ha f(x)=ε(x)g(x) [...] (nel punto x0) tende a zero per x→x0. Per questa ragione una funzione g si dice stima asintotica di una funzionef nel punto x0 se è asintoticamente uguale in x0 a f. Poiché l’uguaglianza asintotica (in un fissato punto x0) definisce una relazione di ...
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ottimizzazione non smooth
Angelo Guerraggio
Teoria e metodi dell’ottimizzazione che utilizzano ipotesi più deboli di quella classica di differenziabilità (secondo Fréchet). La ricerca di una definizione [...] convesse (o concave) e poi con quelle lipschitziane. Per una funzione convessa reale di n variabili reali, viene chiamato subgradiente nel punto x ogni vettore y tale che f(z)≥(x)+y ∙z per ogni z. La definizione generalizza una caratterizzazione ...
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convesso
convèsso [agg. Der. del lat. convexus, da convehere "raccogliere insieme, condurre"] [LSF] Che si presenta ricurvo all'infuori come, per es., l'esterno di una sfera; è il contrario di concavo. [...] , e poliedro c., che giace tutto da una parte rispetto al piano di una qualunque sua faccia. ◆ [ANM] Funzione c.: nel caso di una funzionereale di variabile reale, è una funzionef(x) per cui vale, per ogni 0≤a≤1 e per ogni x₁ e x₂ appartenenti al ...
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molteplicita
molteplicità [Der. del lat. multiplicitas -atis, da multiplex (→ molteplice)] [ALG] M. d'intersezione: date due curve, definite una parametricamente, x₁=x₁(t), x₂=x₂(t), e l'altra dalla [...] , di ordine n, una sua radice a (reale o complessa) ha m. s (intero tra 1 e n) se f(x) è divisibile per (x-a)s ma non per (x-a)s+1; con lo stesso signif. si parla di m. degli zeri della f(x); il concetto si estende a funzioni di più di una variabile. ...
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omogeneita
omogeneità termine che assume significati diversi a seconda del contesto. Può infatti riferirsi a → grandezze omogenee, cioè tra loro confrontabili e riconducibili a una stessa unità di misura, [...] /x0. Per esempio, il punto P(3, 4) ha coordinate omogenee P(k, 3k, 4k) essendo k un qualunque numero reale non nullo.
☐ In analisi, una funzioneƒ: Rn → R è omogenea di grado α se vale l’uguaglianza ƒ(λx) = λαƒ(x) per ogni λ di R+ e per ogni x di Rn ...
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svanimento
svanimento (di una funzione) in analisi, termine che indica l’annullamento delle derivate di una funzione da un certo ordine in poi. Più precisamente, se ƒ: (a, b) → R è una funzione differenziabile [...] diversa da 0 (dove si pone per definizione ƒ (0)(x) = ƒ(x)). Pertanto il luogo degli zeri di ƒ coincide con l’insieme dei punti in cui ƒ si annulla con ordine almeno 0. Per esempio, l’ordine di annullamento della funzioneƒ(x) = x 3 + x 5 nel punto 0 ...
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Baire, classi di
Baire, classi di classificazione delle funzionireali di variabile reale operata sulla base delle loro proprietà di continuità. Le classi, in un intervallo [a, b], sono definite per [...] vuote per ogni numero ordinale transfinito α della seconda classe. Fissato α, esiste una funzione di Baire di due variabili, Fα(x, t), detta funzione universale, tale che ogni funzioneƒ(x) di classe minore di α si ricava come traccia Fα(x, t0) per ...
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funzione
funzióne s. f. [dal lat. functio -onis, der. di fungi «adempiere»]. – 1. Attività svolta abitualmente o temporaneamente in vista di un determinato fine, per lo più considerata nel complesso di un sistema sociale, burocratico, ecc....
reale2
reale2 agg. [dal lat. mediev. realis, der. di res «cosa»]. – 1. Che è, che esiste veramente, effettivamente e concretamente (contrapp., nell’uso com. e generico, a immaginario, illusorio e anche a apparente, ideale, possibile): le mie...