Riemann-Lebesgue, lemma di
Riemann-Lebesgue, lemma di in analisi, stabilisce che nello sviluppo in serie di → Fourier di una funzioneƒ(x), periodica di periodo 2π e ivi assolutamente integrabile,
i [...] e bn sono infinitesimi per n → ∞; l’ordine di infinitesimo è tanto maggiore quanto più regolare è la funzioneƒ. Per esempio, se ƒ è continua a tratti, ammette solo discontinuità di prima specie (salti) e ha altrove derivata limitata, i coefficienti ...
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modulo di continuita
modulo di continuità in analisi, nella definizione di continuità di una funzioneƒ(x) reale in una variabile reale, è la quantità δ = δ(ε, x0) che compare nella condizione:
che [...] può essere estesa in termini più generali a una funzioneƒ: E → F, essendo E e F spazi metrici: il modulo di continuità è una funzione numerica φ crescente definita in [0, +∞) tale che:
Se ƒ ammette un modulo di continuità lineare, del tipo φ ...
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Fubini, teorema di
Fubini, teorema di in analisi, stabilisce che se ƒ(x, y) è una funzione sommabile di due variabili, allora:
• per quasi ogni y la funzioneƒ(x, y) è sommabile rispetto a x;
• l’integrale
è [...] in un sottoinsieme E misurabile di R2, estendendole con la posizione ƒ(x, y) = 0 per (x, y) ∉ E. Il teorema si generalizza al caso di funzioni con un numero qualsiasi di variabili ƒ: Rn+m → R, consentendo la riduzione di un integrale multiplo (n ...
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Fejer, integrale di
Fejér, integrale di particolare integrale che compare nello studio delle serie di → Fourier. Se infatti si studia la convergenza secondo Cesàro (→ sommazione, metodi di) di una serie [...] di Fourier associata a una funzioneƒ, ci si imbatte nell’espressione della media a σn(x) delle somme parziali sk(x), data da
Per tale media delle somme parziali, Fejér ha stabilito la relazione (teorema di Fejér):
dove
è il cosiddetto nucleo ...
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Poisson, formula sommatoria di
Poisson, formula sommatoria di in analisi, formula che trasforma una serie i cui termini sono ottenuti da una funzioneƒ in un’altra i cui termini sono ottenuti dalla sua [...] trasformata di Fourier. La sua espressione è:
L’integrale che compare indica, infatti, la trasformata di Fourier, secondo una delle possibili definizioni (→ Fourier, trasformazione di). Questa formula ...
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Peano, teorema di
Peano, teorema di in analisi, fornisce le condizioni di esistenza della soluzione di un’ordinaria equazione differenziale; in particolare, stabilisce che un problema di → Cauchy espresso [...] da
in cui la funzioneƒ è continua in un aperto A ⊆ Rn+1 e il punto P0(x0, y0, y′0, …, y0(n−1)) è elemento di A, ammette almeno una soluzione. Una generalizzazione del teorema di Peano è il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy ( ...
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Maclaurin, polinomio di
Maclaurin, polinomio di caso particolare del polinomio di → Taylor, in cui il centro è l’origine. Il polinomio di Maclaurin di ordine n per una funzioneƒ(x) definita in un intorno [...] 0 e ivi derivabile almeno n volte è quindi:
Esso approssima la funzione con un errore (o resto), genericamente indicato con Rn(x), che esprime la differenza tra la funzione sviluppata in serie di Maclaurin e il polinomio stesso (→ Lagrange, resto ...
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Dirichlet, integrale di
Dirichlet, integrale di integrale che esprime le somme parziali Sn(x) di una serie di Fourier; la sua espressione è:
La funzione (dipendente da n)
costituisce il cosiddetto [...] nucleo di Dirichlet. L’integrale di Dirichlet appare allora come convoluzione del nucleo di Dirichlet con la funzioneƒ. Tale nucleo è una funzione pari, periodica di periodo 2π, che ha massimo per t = 0 dove vale (2n + 1)/(2π) e vale inoltre ...
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successione di funzioni uniformemente convergente
successione di funzioni uniformemente convergente in un insieme E, successione di funzioni {ƒn(x)} che in tale insieme, incluso o al più coincidente [...] con l’insieme di definizione comune alle funzioni ƒn(x), soddisfa, relativamente alla funzioneƒ(x), la seguente proprietà:
In tal caso si dice che la successione di funzioni {ƒn(x)} converge uniformemente a ƒ(x) (→ successione di funzioni). ...
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Lebesgue, teorema di
Lebesgue, teorema di stabilisce che se g è una funzione sommabile in un insieme misurabile K e non è negativa e se {ƒn} è una successione di funzioni misurabili in K, tali che |ƒn(x)| [...] ≤ g(x) e convergenti alla funzioneƒ quasi ovunque in K, allora risulta: ...
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f, F
(èffe) s. f. o m. – Sesta lettera dell’alfabeto latino, la cui forma maiuscola deriva dal segno Ϝ (digamma) dell’alfabeto greco primitivo, segno ch’era usato per indicare la semivocale u̯, conservatasi fino ai tempi storici in varî dialetti;...
funzione
funzióne s. f. [dal lat. functio -onis, der. di fungi «adempiere»]. – 1. Attività svolta abitualmente o temporaneamente in vista di un determinato fine, per lo più considerata nel complesso di un sistema sociale, burocratico, ecc....