La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Il Bourbakismo
Jean-Paul Pier
Il Bourbakismo
L'avvento e l'influenza di Bourbaki costituiscono uno dei fenomeni più sorprendenti nella matematica [...] sistematico dei polinomi. Si considerano i polinomi su un dominiod'integrità, la divisione euclidea, le funzioni polinomiali su un anello commutativo e su un dominiod'integrità infinito. Intervengono in seguito le frazioni razionali e le funzioni ...
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varieta algebrica
varietà algebrica (in inglese algebraic variety o semplicemente variety) oggetto fondamentale in geometria algebrica che nasce dallo studio, da un punto di vista geometrico, dell’insieme [...] ovunque definita ƒ: Z → K esprimibile mediante un polinomio. L’insieme K [Z] delle funzioni regolari su Z costituisce un dominiod’integrità, detto anello delle coordinate di Z, il quale si identifica con l’anello quoziente K [x1, ..., xn] /I; il ...
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anello
anello struttura algebrica in cui due operazioni, dette generalmente addizione e moltiplicazione (ma, con abuso di linguaggio, anche somma e prodotto), godono di determinate proprietà le quali [...] cioè ogni ideale è principale (è principale un ideale in cui tutti gli elementi sono multipli di un suo opportuno elemento). Un dominiod’integrità è un dvr se e solo se esiste una valutazione v del suo campo dei quozienti di cui A è l’anello locale ...
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fattorizzazione
fattorizzazione o scomposizione in fattori, operazione consistente nella riscrittura di una generica espressione numerica o algebrica come prodotto di più fattori. Un esempio di fattorizzazione, [...] dell’una è associato a un fattore non invertibile dell’altra (→ elementi associati). Se l’anello considerato è un dominiod’integrità, si può allora sfruttare la nozione di irriducibilità di un elemento. Per definizione, un elemento di A è ...
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ideale
ideale in algebra, sottogruppo I del gruppo additivo di un anello (A, +, ⋅) che soddisfa almeno una delle due condizioni seguenti:
a) se s appartiene a I, allora, per ogni a appartenente ad A, [...] di un anello rispetto a un suo ideale primo è un dominiod’integrità; il quoziente di un anello rispetto a un suo ideale massimale prodotto di due ideali sono ben caratterizzati come segue:
dove d indica il massimo comune divisore di m e n. Dato ...
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localizzazione
localizzazione in algebra, termine che indica il passaggio da un anello commutativo unitario A all’anello delle frazioni AS (oppure S−1A), dove S è una → parte moltiplicativa di A. Quando [...] ƒ(a) = a /1. Tale omomorfismo è iniettivo se e solo se S non contiene divisori dello zero; se A è un dominiod’integrità, le localizzazioni di A si presentano quindi tutte come anelli intermedi compresi tra A e il suo campo dei quozienti. Lo stesso ...
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massimo comune divisore
massimo comune divisore (in simbolo mcd) tra due numeri interi a, b è il numero intero M che soddisfa le due seguenti proprietà:
• M divide a e b;
• se c è un intero che divide [...] in generale, la nozione di massimo comune divisore è definibile in un qualsiasi dominiod’integritàD; non sempre però esso esiste. Se però D è un dominio a fattorizzazione unica, allora il massimo comune divisore tra due elementi dell’anello esiste ...
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valutazione
valutazione termine usato in algebra con significati diversi.
□ In un dominiod’integrità A, è un’applicazione v: A{0} → N tale che:
• v(a) ≤ v(ab), per ogni coppia di elementi non nulli [...] v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)};
• v(x) = ∞ se e solo se x = 0.
Il sottoinsieme Av ⊆ K definito da
è un → dominiod’integrità con K come campo dei → quozienti; esso gode delle seguenti proprietà:
• un elemento x di Av è invertibile in Av se e solo se v ...
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Z
Z (insieme dei numeri interi) insieme numerico che estende l’insieme N dei numeri naturali. È l’unione dell’insieme dei numeri interi positivi
dell’insieme dei numeri interi negativi
e dell’insieme [...] di tali operazioni, Z acquisisce pertanto la struttura algebrica di → anello commutativo unitario e, più precisamente, quella di → dominiod’integrità: ciò esprime il fatto che non esistono coppie di numeri interi diversi da 0 il cui prodotto sia 0 ...
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corpo
Luca Tomassini
Consideriamo in un anello con unità A l’equazione ax=b, dove a,b sono elementi fissati e x un elemento ‘incognito’ di A. Un primo semplice caso è quello in cui a=0; poiché 0x=0 [...] le lettere x e y, avremo evidentemente a(x−y)=0. Queste osservazioni conducono all’introduzione della seguente nozione: un anello A è detto dominiod’integrità se per ogni u,v in A la relazione uv=0 implica u=0 o v=0 (talvolta è richiesto che A sia ...
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integrazióne s. f. [dal lat. integratio -onis, con influenza, nel sign. 3, dell’ingl. integration]. – 1. In senso generico, il fatto di integrare, di rendere intero, pieno, perfetto ciò che è incompleto o insufficiente a un determinato scopo,...
stato2
stato2 s. m. [lat. status -us «condizione, posizione, stabilità» (der. di stare «star fermo»)]. – 1. Lo stare, lo star fermo (in contrapp. a moto, movimento), nelle espressioni del linguaggio grammaticale: complemento di stato in luogo;...