VARIAZIONI, CALCOLO DELLE.
Leonida Tonelli
- È quel ramo dell'analisi matematica che studia i problemi di massimo e minimo (v. massimi e minimi) relativi a quantità variabili, che si presentano sotto [...] quella del massimo assoluto) è basato sulla considerazione delle successioni minimizzanti, vale a dire, di successioni C1, C2, . . . ., Cn, . . ., di curve della classe S-80???, tali che, per n → ∞, I [Cn] tenda al limite inferiore dei valori di I ...
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Fluidi, dinamica dei
RRobert D. Richtmyer
di Robert D. Richtmyer
SOMMARIO: 1. Conoscenze all'inizio del secolo. □ 2. Le equazioni fondamentali: a) equazioni euleriane e lagrangiane; b) la legge dell'entropia; [...] nella dinamica dei fluidi.
Ricordiamo che la soluzione generale delle equazioni delle onde
è:
dove f e g sono funzioni arbitrarie di classeC1. Per valori iniziali arbitrari u(x, 0) e v(x, 0), la soluzione delle (141) è unica e si ottiene ponendo ...
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La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] punto di minimo u in AC([a,b]), e un diverso punto di minimo v in C1([a,b]), con F(u)⟨F(v). Questi esempi hanno imposto lo sviluppo di tecniche è possibile l'approssimazione con funzioni di classeC1([a,b]).
Geodetiche
Un classico problema che ...
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Analisi non lineare: metodi variazionali
Antonio Ambrosetti
I primi problemi di calcolo delle variazioni si presentano quasi spontaneamente, anche nello studio della geometria elementare e hanno infatti [...] [3] e z viene appunto detta soluzione debole.
Infine si dimostra, sotto qualche ulteriore restrizione sulla L, che z è di classeC1 e verifica la [3].
I risultati di Hilbert e Tonelli hanno dato un nuovo grande impulso alla ricerca nel calcolo delle ...
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Equazioni differenziali: problemi non lineari
Jean Mawhin
La modellizzazione di molti problemi fisici porta alla ricerca di soluzioni di equazioni differenziali di secondo ordine, ordinarie o alle derivate [...] (λ*,0) per qualche λ*∈[λ−,λ+].
Ora, una formula di Leray-Schauder (1934) mostra che per una mappa completamente continua Φ: X→X di classeC1 con differenziale di Fréchet Φ′(0) in 0
Se λ−−1 λ+−1 non sono autovalori di Φ′(0), allora, per r>0 piccolo ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Equazioni differenziali ordinarie
Jean Mawhin
Equazioni differenziali ordinarie
Accanto a sostanziali progressi nella teoria delle equazioni [...] . Nel 1932 Arnaud Denjoy (1884-1974) dimostra che la risposta è affermativa se il campo è di classe C2, e negativa se è soltanto di classeC1 (quest'ultimo risultato era stato ottenuto già nel 1916 da Piers Bohl).
La quarta memoria affronta lo studio ...
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distribuzione
distribuzione termine che assume significati diversi a seconda del particolare ambito matematico.
La distribuzione come funzione generalizzata
In analisi, si indica come distribuzione [...] e quindi è derivabile infinite volte. Tale formula, per distribuzioni regolari che provengono, nel senso precisato sopra, da funzioni di classeC1, è mutuata dalla formula di integrazione per parti: infatti, se supp(φ) ⊆ [a, b],
in quanto φ(a) = φ ...
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Cauchy, problema di
Cauchy, problema di (per un’equazione differenziale ordinaria di ordine n) è il problema che consiste nell’assegnazione del valore della soluzione e delle sue derivate fino all’ordine [...] di Lipschitz uniforme rispetto alle variabili y, y′,…, y(n−1), e in particolare questo è il caso se ƒ è di classeC1. L’intervallo di esistenza della soluzione non può essere stabilito a priori, se non con ulteriori ipotesi. Per esempio, data l ...
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matrice jacobiana
matrice jacobiana matrice che generalizza a funzioni di più variabili la nozione di derivata prima. Si consideri una funzione ƒ: Rn → Rm di n variabili reali, a valori vettoriali (il [...] col gradiente della funzione ƒ. Il differenziale di ƒ si ottiene moltiplicando J per il vettore dx ∈ Rn.
Se si compongono le funzioni (di classeC1) ƒ: Rn → Rm e g: Rm → Rp si ottiene la funzione composta g ∘ ƒ: Rn → Rp, z = g(ƒ(x)), la cui jacobiana ...
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gradiente
gradiente operatore differenziale vettoriale che esprime la variazione di una grandezza fisica definita nello spazio (per esempio, gradiente di pressione, gradiente termico ecc.). Nel calcolo [...] , ciascuna moltiplicata per il versore corrispondente.
Formalmente, il gradiente di un campo scalare ƒ = ƒ(x, y, z) di classeC1 è il vettore che in coordinate cartesiane si esprime come
Per una funzione differenziabile vale la formula Dνƒ = ∇ƒ ⋅ v ...
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