Dedekind, assiomadiDedekind, assiomadi o postulato diDedekind, afferma che se i punti di una retta sono divisi in due insiemi A, B, tali che ogni punto a ∈ A precede ogni punto b ∈ B, esiste un punto [...] , sia soddisfatta la relazione a ≤ x ≤ b. Questo assioma venne formulato da Dedekind nel 1872 ed è anche detto assiomadi continuità o assiomadi completezza. Più in generale, l’assiomadiDedekind può essere applicato a un qualsiasi insieme X dotato ...
Leggi Tutto
Cantor-Dedekind, assiomadi
Cantor-Dedekind, assiomadiassioma secondo cui l’insieme R dei numeri reali può essere messo in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta. Dotando la retta di uno [...] sia un isomorfismo d’ordine, vale a dire che essa preservi le strutture di insiemi ordinati definite rispettivamente su R e sulla retta. Gli assiomidi Hilbert esprimono allora per la retta delle proprietà analoghe a quelle soddisfatte da R ...
Leggi Tutto
Dedekind, sezione diDedekind, sezione di o taglio diDedekind, nozione introdotta da R. Dedekind alla fine del secolo xix nell’intento di precisare il concetto di ordinamento continuo e fornire una [...] rispetto al quale R è denso (→ densità), archimedeo (→ Archimede, assiomadi) e completo, nel senso che è soddisfatto l’assiomadi → Dedekind.
L’insieme R così definito contiene inoltre una copia di Q (a esso isomorfa come insieme ordinato) ottenuta ...
Leggi Tutto
R
R (insieme dei numeri reali) insieme numerico, denotato con il simbolo R, che comprende tutti i numeri che è possibile scrivere in forma decimale, con parte decimale finita, infinita periodica o infinita [...] ’ordinamento definito sui numeri reali è anche continuo (→ ordinamento). Ciò vuol dire che vale l’assiomadi → Dedekind. Il fatto che in R sia soddisfatto l’assiomadiDedekind si esprime dicendo che R è completo come insieme ordinato; la completezza ...
Leggi Tutto
continuita
continuità proprietà che, in diversi contesti matematici, precisa l’idea intuitiva di mancanza di interruzione. Il passaggio dall’idea intuitiva alla precisazione matematica del concetto non [...] ≤ su un insieme X per cui valga l’assiomadi → Dedekind, che è appunto anche detto assiomadi continuità. In modo equivalente, si dice che X è completo rispetto all’ordinamento totale ≤. L’assiomadiDedekind è per esempio soddisfatto da una retta ...
Leggi Tutto
Q
Q (insieme dei numeri razionali) insieme numerico, indicato con il simbolo Q (da «quoziente») che estende l’anello Z dei numeri interi. Se a e b sono numeri interi, con b ≠ 0, non sempre è definito [...] razionale z tale che x < z < y. Tale ordinamento non è però continuo, vale a dire non soddisfa l’assiomadi → Dedekind.
Se x è un numero razionale, si definisce allora il suo modulo (o valore assoluto)
Il modulo definisce una distanza d su ...
Leggi Tutto
ordinamento
ordinamento o relazione d’ordine, relazione antisimmetrica e transitiva (→ antisimmetria; → transitività). La proprietà di antisimmetria porta a escludere ordinamenti di tipo circolare: infatti, [...] continuo: per esempio, i due insiemi {x ∈ Q : x < 0 o x 2 ≤ 2} e {x ∈ Q : x ≥ 0 e x 2 ≥ 2} soddisfano le ipotesi dell’assiomadiDedekind, ma non esiste alcun elemento che separa i due insiemi; tale fatto è equivalente ad affermare l’irrazionalità ...
Leggi Tutto
completezza
completezza termine utilizzato in matematica con diversi significati.
Completezza di un insieme totalmente ordinato (o completezza algebrica)
Un insieme X dotato di un ordinamento totale [...] denso ≤ si dice completo se ≤ è un ordinamento continuo, cioè se è soddisfatto l’assiomadiDedekind. La nozione di completezza di un insieme totalmente ordinato equivale quindi a quella della sua continuità: un insieme ordinato si dice completo se ...
Leggi Tutto
ordinamento continuo
ordinamento continuo ordinamento denso su un insieme A tale che A risulti completo rispetto a esso (valga cioè l’assiomadi → Dedekind). Entrambi gli ordinamenti naturali dei punti [...] di una retta sono esempi di ordinamenti continui: sono densi e la retta risulta completa rispetto a ciascuno di essi (→ ordinamento). L’ordinamento naturale di R è un ordinamento continuo. ...
Leggi Tutto