RETTANGOLO
RETTANGOLO (ted. Rechteck)
Quadrangolo convesso (vedi poligono) avente quattro angoli retti. È un particolare parallelogrammo e, fra i parallelogrammi, si può caratterizzare come quello che ha uguali le due diagonali. Si riduce al quadrato quando è equilatero.
Euclide, all'inizio del primo libro degli Elementi, definisce il rettangolo come quella figura a quattro lati (τετράπλευρον σχήμα), che è equiangola, ma non equilatera, e lo designa col nome di ἑτερόμηκες (latino oblungum), mentre poi usa di regola il vocabolo ὀρϑογώνιον, che sembra sia stato foggiato da lui stesso e che fu adottato anche da Apollonio, ma non, ad es., da Erone e da Proclo, che preferivano il vecchio nome di ἑτερόμηκες.
Si noti che, quando si sia ammesso il V postulato di Euclide, cioè la unicità della parallela per un dato punto a una data retta (v. parallele), la definizione del rettangolo come quadrangolo avente quattro angoli retti risulta sovrabbondante, in quanto basta ammettere che in un quadrangolo siano retti tre angoli, perché si possa dimostrare, in base al postulato dianzi ricordato, che è retto anche il quarto angolo. Viceversa, l'ipotesi dell'esistenza di un quadrangolo avente quattro angoli retti implica la validità del V postulato di Euclide (v. parallele; saccheri, giovanni girolamo).
In un rettangolo, come in ogni altro parallelogrammo, ogni lato è uguale e parallelo al suo opposto. Le lunghezze a e b di due lati consecutivi si dicono dimensioni del rettangolo, e il loro prodotto dà l'area del rettangolo. Poiché ciascuna diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli uguali di cateti a e b, la lunghezza comune delle due diagonali è data da √a2+b2.
Dalla regola che dà l'area di un rettangolo segue che la equivalenza (o eguaglianza d'area) di due rettangoli di dimensioni a e d il primo, b e c il secondo, cioè l'uguaglianza ad = oc, è condizione necessaria e sufficiente perché sussista la proporzione a : b = c : d. In particolare, il lato d'un quadrato equivalente a un rettangolo è medio proporzionale tra i lati di questo, donde la nota trasformazione d'un rettangolo in un quadrato equivalente. In forza dell'osservazione generale che precede, molti teoremi geometrici, in cui s'enuncia una proporzione tra segmenti, si possono anche esprimere mediante l'equivalenza di due rettangoli; così, per esempio, per la proprietà su cui si fonda il concetto della potenza d'un punto rispetto a un cerchio (v. potenza). Una notevole proprietà relativa ai rettangoli è la seguente: le bisettrici degli angoli interni di un qualsiasi parallelogrammo formano un rettangolo: questo è un quadrato quando il parallelogrammo da cui si parte è un rettangolo, mentre si riduce al punto comune alle due diagonali se si parte da un rombo (in particolare da un quadrato).