regione
regione
regione termine usato come sinonimo di insieme di punti di uno spazio arbitrario, definiti in relazione a qualche proprietà o a qualche condizione. Il termine può riferirsi, per esempio, ai punti di un grafico o del suo dominio (regione di linearità, di crescenza, di monotonia), oppure può riferirsi ai punti di un piano o dello spazio euclideo, o di uno spazio topologico qualsiasi (regione di piano limitata da una curva, regione dello spazio compresa tra due piani paralleli). Molte figure della geometria possono essere definite come regioni di punti caratterizzati da opportune proprietà. Per esempio, nel piano un triangolo è la regione di piano ottenuta come intersezione di tre semipiani di rispettive origini tre rette aventi a due a due un punto in comune; nello spazio un tetraedro è la regione di spazio ottenuta come intersezione di quattro semispazi delimitati da quattro piani aventi a tre a tre un punto in comune. Una regione è limitata se ogni segmento che congiunge due suoi punti ha lunghezza finita, illimitata in caso contrario. Può risultare piana se tutti i suoi punti appartengono a uno stesso piano: gli angoli sono un esempio di regione piana illimitata. Può essere unidimensionale, bidimensionale, ..., n-dimensionale se in una trattazione analitica dello spazio sono necessari uno, due, ..., n parametri indipendenti non omogenei per individuare univocamente un suo punto.
In uno spazio euclideo, un punto di una regione è detto:
• punto interno se e solo se esiste un intorno del punto contenuto nella regione;
• punto esterno se e solo se esiste un intorno del punto non contenuto nella regione;
• punto di frontiera se e solo se ogni suo intorno contiene sia punti interni alla regione, sia punti esterni.
La frontiera di una regione è l’insieme dei suoi punti di frontiera. Dal punto di vista topologico una regione è detta:
• regione aperta, se e solo se tutti i suoi punti sono interni;
• regione chiusa, se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione;
• regione connessa, se e solo se non è data dall’unione di due regioni aperte non vuote e prive di intersezione.
In R2 (o in R3) una regione piana (o dello spazio) è convessa se e solo il segmento che congiunge due suoi qualsiasi punti è contenuto nella regione. Un poligono regolare, un semipiano o un angolo acuto sono esempi di regioni piane convesse. I solidi platonici sono tutti esempi di poliedri che costituiscono regioni convesse di R3, mentre un toro non è una regione convessa.