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reciprocita quadratica, legge di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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reciprocita quadratica, legge di


reciprocità quadratica, legge di o teorema aureo, teorema di aritmetica modulare, congetturato inizialmente da Eulero nel 1783 e dimostrato definitivamente da C.F. Gauss nel 1796 (che appunto lo definì aureum theorema), dopo una dimostrazione fallace di A.M. Legendre nel 1785. Esso stabilisce che se p > 2 e q > 2 sono due primi distinti non entrambi congrui a 3 modulo 4, allora p è un residuo quadratico modulo q se e solo se q è un residuo quadratico modulo p. Equivalentemente, esiste un numero intero x tale che x 2 è congruente a p (modq) se e solo se è congruente anche a q (modp). Viceversa, se p e q sono entrambi congruenti a 3 modulo 4, allora solamente uno tra p e q è un residuo quadratico modulo l’altro. La legge di reciprocità quadratica può essere espressa formalmente usando il simbolo di Legendre

formula

il quale, se s e t sono primi distinti maggiori di 2, vale 1 se s è un residuo quadratico modulo t e −1 altrimenti:

formula

Vi sono leggi di reciprocità che vanno oltre il secondo grado (reciprocità cubica, quartica ecc.), ma in tali casi si pone il problema di operare oltre il campo Q dei numeri razionali. Il problema della dimostrazione della più generale legge di reciprocità in ogni campo numerico è il nono dei problemi posti da D. Hilbert nella sua famosa lista di problemi del 1900 (→ Hilbert, problemi di).

Vedi anche
congruenza Nella geometria elementare, sinonimo di uguaglianza (➔) diretta, cioè di sovrapponibilità. Nella teoria dei numeri, relazione di due numeri interi relativi a, b tali che la differenza a−b è divisibile per un numero intero positivo m (detto modulo di una c.); essa si scrive a≡b (mod. m) e si legge: «a ... numeri interi In matematica, si chiamano interi positivi (o naturali) i numeri della successione infinita 1, 2, 3, 4, ... ciascuno dei quali si ottiene dal precedente aggiungendo a esso l’unità. Gli interi negativi sono numeri della successione −1, −2, −3, ... Gli interi positivi e negativi, insieme con lo zero, si ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ... bicondizionale In logica matematica, la connessione p ↔ q di due enunciati p e q, che è vera se e solo se essi sono entrambi veri o entrambi falsi.
Tag
  • ARITMETICA MODULARE
  • SIMBOLO DI LEGENDRE
  • RESIDUO QUADRATICO
  • NUMERI RAZIONALI
  • CAMPO NUMERICO
Vocabolario
reciprocità
reciprocita reciprocità s. f. [dal lat. tardo reciprocĭtas -atis, der. di reciprŏcus «reciproco»]. – 1. La condizione di essere reciproco; rapporto, carattere o valore reciproco: r. di un affetto, di un sentimento; principio di r., rapporto...
quadràtico
quadratico quadràtico agg. [der. di quadrato2] (pl. m. -ci). – 1. In matematica e nelle applicazioni, relativo all’elevazione a quadrato. È usato in locuzioni di sign. partic., tra le quali: a. Equazioni q., equazioni algebriche di secondo...
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