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radice nel campo complesso

Enciclopedia della Matematica (2013)
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radice nel campo complesso


radice nel campo complesso in algebra, estensione dell’operazione di estrazione di radice al campo C dei numeri complessi; dato un numero intero n ≥ 2 (detto indice della radice), la radice complessa n-esima (o semplicemente radice n-esima) di un numero complesso z è ogni numero complesso w tale che wn = z. La radice complessa n-esima definisce una funzione polidroma: poiché C è un campo algebricamente chiuso, ogni numero complesso z non nullo ha esattamente n radici n-esime complesse; se z è rappresentato nella forma goniometrica z = ρ(cosθ + isinθ) (dove ρ e θ sono rispettivamente il modulo e l’argomento di z), le sue radici n-esime sono allora date dall’espressione

formula

o, in forma compatta usando la forma esponenziale,

formula

in cui il simbolo

formula

indica la radice aritmetica n-esima del numero reale non negativo ρ. Le n radici n-esime di un numero complesso possiedono un’elegante interpretazione geometrica nel piano di Argand-Gauss (→ radici n-esime dell’unità, gruppo delle).

Tag
  • CAMPO ALGEBRICAMENTE CHIUSO
  • PIANO DI ARGAND-GAUSS
  • ESTRAZIONE DI RADICE
  • FUNZIONE POLIDROMA
  • NUMERI COMPLESSI
Vocabolario
radice
radice s. f. [lat. radix -īcis]. – 1. a. In botanica, uno dei tre organi caratteristici delle cormofite, che manca in generale di clorofilla e, a differenza del fusto, non porta le foglie: si forma nell’embrione dove prende il nome di radichetta,...
campo
campo s. m. [lat. campus «campagna, pianura» poi «campo di esercitazioni, campo di battaglia»]. – Termine che ha assunto (per evoluzione dai sign. principali che già aveva nella lingua d’origine) notevole varietà di accezioni e di usi,...
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