quaternione

quaternione

quaternióne [Der. del lat. quaternio -onis, da quaterni (→ quaterna)] [ALG] Numeri che rappresentano una generalizzazione dei numeri complessi; il generico q di essi si rappresenta come q=a+bi+cj+dk, dove a, b, c, d sono numeri reali e i loro moltiplicatori, 1, i, j, k sono le unità dei q. (1 è l'unità reale e le altre tre sono le unità immaginarie), che seguono la seguente tab. moltiplicativa:✄Analogamente ai numeri complessi, si distinguono una parte reale (Req=a) e una parte immaginaria (il trinomio con le unità immaginarie, nel passato detto anche vettore del q., Imq=bi+cj+dk); l'addizione si effettua nel modo usuale, mentre la moltiplicazione si basa sulla tab. appena data; il q. coniugato di q è q*= Req-Imq; il prodotto qq*= a2+b2+c2+d2 si chiama norma di q e s'indica come N(q). I q., introdotti da W.R. Hamilton nel 1843 (e perciò detti q. di Hamilton), costituiscono un corpo non commutativo e un'algebra non commutativa sul campo dei numeri reali ed ebbero subito importanti applicazioni (nella teoria delle quadriche, nello studio delle rotazioni dello spazio ordinario, ecc.); recentemente hanno conosciuto una rinnovata attenzione per questioni sia prettamente algebriche che topologico-differenziali; nell'ambito fisico, è da ricordare che nella fisica delle particelle elementari hanno trovato importanti applicazioni matrici quadrate che hanno la stessa tab. moltiplicativa delle quattro unità dei q. (matrici di Sylvester), data sopra. ◆ [ALG] Gruppo dei q.: gruppo non commutativo, di 8 elementi, costituito dalle quattro unità dei q. e dalle loro opposte; è un gruppo hamiltoniano e anzi si dimostra che ogni gruppo hamiltoniano è prodotto diretto del gruppo dei q. per un opportuno gruppo abeliano.