MAGICI, QUADRATI
MAGICI, QUADRATI
. Fissato un intero n, si suddivida un quadrato in n2 quadratini, come una scacchiera; se si riesce a scrivere in questi quadratini i primi n2 numeri naturali, uno per ciascun quadratino, in un ordine tale che la somma dei numeri scritti in tutti i quadratini di ciascuna verticale, di ciascuna orizzontale e dell'una e l'altra delle due diagonali sia sempre la stessa, la figura risultante si dice quadrato magico di ordine n. Poiché la somma degli n2 primi numeri naturali è n2 (n2 + 1)/2 (v. progressione) il valore comune delle somme suindicate è n (n2 + 1)/2.
Il problema della costruzione di un quadrato magico può essere esteso a n2 numeri in progressione aritmetica o anche a n2 numeri quali si vogliano. Esso risale alla più remota antichità; il nome di quadrati magici deriva dalle proprietà che ad essi si attribuivano; si credeva che un quadrato magico inciso sopra una lastrina d'argento preservasse dalla peste, e in alcuni paesi di Oriente si trovano ancora di tali amuleti. I quadrati magici sono stati usati anche come elementi iconografici: celebre è quello del 4° ordine che figura nella Malinconia di A. Dürer (v. XIII, p. 302).
Sono stati trovati molti metodi per costruire quadrati magici. Ac-. cenneremo ad alcuni dei più semplici, distinguendo tre casi:1. n dispari; 2. n multiplo di 4 (o, come si suol dire, doppiamente pari); 3. n pari, ma non divisibile per 4, cioè della forma 4m + 2 (o, come si suol dire, semplicemente pari).
1. n dispari. Per es., n = 5. Costruito un quadrato ABCD, diviso in 52 = 25 caselle, ′si costruiscano altri quadratini esternamente ad esso, come mostra la fig. 1-a, in modo che il primo quadrato risulti inscritto in un secondo quadrato coi lati paralleli alle diagonali del primo; e nelle caselle così ottenute si scrivano ordinatamente i primi 25 numeri, come appare dalla stessa figura 1-a. Si riempiano poi le caselle del quadrato ABCD rimaste vuote, facendo scorrere di cinque posti verso il basso i numeri scritti nelle caselle aggiunte al di sopra di DC, verso l'alto i numeri scritti nelle caselle al di sotto di AB, verso destra e verso sinistra rispettivamente i numeri scritti nelle caselle a sinistra di AD e a destra di BC (fig. 1-b).
2. n doppiamente pari. Per es., n = 4. Scritti nelle 16 caselle i primi 16 numeri nel loro ordine naturale, come mostra la fig. 2-a, si divida il quadrato in quattro quadrati eguali per mezzo delle sue due mediane. Nel quadrato parziale in alto a sinistra si contrassegnino con un asterisco alternativamente i numeri di posto pari nelle righe di posto dispari, i numeri di posto dispari nelle righe di posto pari; in ciascuno dei due quadrati contigui si contrassegnino quei numeri che occupano posizioni simmetriche di quelli contrassegnati dianzi, rispetto al lato comune; invece nel quarto quadrato parziale si contrassegnino i numeri simmetrici di quelli contrassegnati nel primo quadrato parziale, rispetto al vertice comune (centro del quadrato totale). Infine nel quadrato totale si scambino fra loro i numeri contrassegnati che occupano posizioni simmetriche rispetto al centro (fig. 2-b).
3. n semplicemente pari. Sono state assegnate anche per questo caso varie regole, le quali, peraltro, sono meno semplici di quelle precedenti. Ci limitiamo a indicarne una, che è bensì facile da enunciare, ma da un certo punto in poi richiede che si proceda per tentativi.
Volendo, p. es., un quadrato magico di ordine 6, si cominci col costruirne uno di ordine 4 (in generale di ordine 4 m) col procedimento or ora esposto (fig. 2-b), e in esso (fig. 3-a) a ciascuno dei numeri maggiori di 8 (in generale di 8 m2) si aggiunga 20 (in generale 4 [4 m + 1]). Si ottiene così (fig. 3-b) un quadrato magico formato coi numeri da 1 a 8 e da 29 a 36 (in generale da 1 a 8 m2 e da 8 m2 + 16 m + 5 a[4 m + 2]2). Infine questo quadrato si orli, aggiungendo in alto e in basso una nuova linea di caselle e a sinistra e a destra una nuova colonna; e nelle caselle così aggiunte si collochino i numeri mancanti, cioè i numeri da 9 a 28 (in generale da 8 m2 + 1 a 8 m2 + 16 m + 4), avendo cura che, come è sempre possibile: 1. la somma di ciascuna delle coppie di numeri posti o nei vertici opposti o in due caselle di una stessa orizzontale o di una stessa verticale risulti uguale a 37 (in generale a [4 m + 2]2 + 1); 2. la somma dei numeri posti in ciascuna delle due nuove linee e delle due nuove colonne sia uguale a 111 (in generale a [2 m2 + 1] [(4 m + 2)2 + 1]).
Rettangoli magici. - Il problema dei quadrati magici è stato esteso ai rettangoli nel modo seguente. Dato un rettangolo diviso in mn caselle per mezzo di rette parallele ai lati, scrivere in queste caselle tutti i numeri naturali da 1 ad mn (un numero per ciascuna casella), in modo che le somme dei numeri scritti nelle n caselle di ciascuna linea siano eguali, e similmente siano eguali fra loro, ma non alle precedenti, le somme dei numeri scritti nelle m caselle di ciascuna colonna.
Poiché la somma dei primi mn numeri naturali è mn (mn + 1)/2, le dette somme costanti sono rispettivamente
S1 = n (mn + 1)/2, S2 = m (mn + 1)/2.
Ecco tre esempî di rettangoli magici:
m = 2, n = 4; S1 = 18, S2 = 9 m = 3, n = 5; S1 = 40, S2 = 24
m = 4, n = 8; S1 = 132, S2 = 66
Cubi magici. - È un'altra estensione dei quadrati magici. Suddiviso un cubo, per mezzo di piani paralleli alle facce, in n3 cubetti, si vuole scrivere su ciascuno di questi cubetti uno dei primi n3 numeri naturali in guisa che la somma degli n numeri scritti sui cubi di una qualsiasi fila parallela a uno degli spigoli oppure sui cubetti attraversati da una delle quattro diagonali del cubo intero sia sempre la stessa. Questa somma è n(n3 + 1)/2. Naturalmente i numeri di uno stesso strato parallelo a una qualsiasi delle facce gode delle proprietà del quadrato magico, per ciò che riguarda le somme dei numeri di una stessa fila, ma non per la somma dei numeri delle diagonali. Per n = 3 non si può formare il cubo magico; per n = 4 e per n = 5 è possibile. Ci limitiamo a dare la disposizione dei numeri nel cubo magico per n = 4, S = 130; esso è costituito dai seguenti quattro strati, presi nell'ordine in cui qui sono scritti:
Bibl.: C. G. Bachet de Méziriac, Problèmes plaisans et delectables, ecc., Lione 1612, 5ª ed. [di A. Labosne], Parigi 1884; J. Ozanam, Récréations mathématiques et physiques, Parigi 1694; B. Violle, Traité complet des carrés magiques, voll. 3, Parigi 1837-38; W.W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Problems, Londra 1893, 3ª ed. 1896 (trad. ital., Bologna 1911); G. Arnoux, Arithmétique graphique, Parigi 1894; I. Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, Milano 1913.