punto fisso

punto fisso

punto fisso in un’applicazione di uno spazio X in sé stesso, punto che corrisponde a sé stesso.

☐ In geometria, si definisce un punto fisso in una trasformazione geometrica ogni punto che ha come corrispondente sé stesso. Per esempio, in una simmetria assiale tutti i punti dell’asse di simmetria sono fissi, in una simmetria centrale è fisso soltanto il centro di simmetria mentre in una traslazione di vettore non nullo non ci sono punti fissi. Un punto fisso è talvolta anche detto punto unito.

☐ In analisi, nel caso di un funzione ƒ(x) i punti fissi sono le soluzioni dell’equazione ƒ(x) = x e graficamente sono le intersezioni del grafico della funzione y = ƒ(x) con la retta bisettrice di equazione y = x. La loro individuazione è importante nel determinare gli stati stazionari di un → sistema dinamico (→ caos). Sempre in analisi, il più semplice teorema di punto fisso è il teorema di → Banach-Caccioppoli (→ contrazione). Degno di nota è però anche il teorema del punto fisso di → Brouwer, che stabilisce che tutti i sottoinsiemi propri compatti e connessi X di uno spazio euclideo sono tali che ogni funzione continua ƒ di X su X ammette un punto fisso, cioè un punto a ∈ X tale che ƒ(a) = a. Così, nel caso bidimensionale, per ogni funzione ƒ continua che manda in sé l’intervallo [0, 1] deve esserci, nell’intervallo, almeno un numero reale a tale che ƒ(a) = a.