punti di sella

punti di sella

Nell’enunciato del teorema di Kuhn-Tucker, relativo al problema di determinare il massimo di una funzione f con i vincoli g_i(x)≤0, compare la funzione lagrangiana L (x,λ)=f(x)−∑λ_ig_i(x) dove la sommatoria è estesa a considerare tutti i vincoli g_i. Per questa funzione lagrangiana L, in particolare, un punto (x⁰,λ⁰) è detto di sella quando per ogni x e per ogni λ vale la doppia disuguaglianza L(x,λ⁰)≤L(x⁰,λ⁰)≤L(x⁰,λ). Un punto di sella è cioè, per la funzione lagrangiana L, un punto di massimo rispetto al vettore x e un punto di minimo rispetto al vettore λ. La definizione di punto di sella permette di enunciare una condizione sufficiente, per l’iniziale problema di programmazione non lineare, particolarmente comoda perché non richiede alcuna ipotesi di regolarità (continuità, differenziabilità ecc.) sulle funzioni coinvolte nel problema. In particolare, se (x⁰,λ⁰)è punto di sella della funzione lagrangiana L (con x⁰ appartenente alla regione ammissibile), allora x⁰ è soluzione del problema di ottimo. Il teorema può essere invertito in ipotesi di convessità: se x⁰ è soluzione del problema di ottimo con A insieme convesso, la funzione obiettivo f concava e le funzioni di vincolo convesse ed è soddisfatta una condizione di qualificazione dei vincoli, allora esiste un moltiplicatore λ⁰ a componenti non negative tale che (x⁰,λ⁰) è punto di sella della funzione lagrangiana associata.

→ Programmazione matematica