CICLICI, PUNTI
CICLICI, PUNTI
. Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali omogenee x : y : z e ampliato con l'aggiunta dei punti improprî (o all'infinito) e dei punti immaginarî (cioè a coordinate complesse), si dicono punti ciclici i due punti immaginarî improprî di coordinate x : y : z = 1: ± i : 0 (dove i = √−1)
e perciò definiti complessivamente dalle due equazioni x2 + y2 = 0,z = 0. Il nome deriva dal fatto che tutte le circonferenze del piano passano per codesti due punti (cioè le rispettive equazioni sono soddisfatte dalle coordinate 1 : ± i : 0) e, viceversa, ogni linea del 2° ordine (v. coniche) passante per i due punti ciclici è una circonferenza.
Importa rilevare che per la validità incondizionata di questa seconda circostanza, occorre, nel piano ampliato come sopra si è detto, ampliare coerentemente il concetto di circonferenza, convenendo di designare con tal nome il luogo dei punti reali e immaginarî, le cui coordinate x: y: z soddisfano ad un'equazione del tipo (v. cerchio):
dove a, b, c, k denotano costanti quali si vogliono (anche complesse).
Le rette passanti per un punto ciclico (e perciò immaginarie) si dicono, col Ribaucour, isotrope; esse costituiscono due fasci improprî (di ciascuno dei quali passa una retta e una sola per ogni punto proprio del piano), e, in coordinate cartesiane ordinarie x, y, le equazioni delle due rette isotrope uscenti dal punto x0, y0 sono date da x − x0 ± i (y − y0) = 0. Le rette isotrope godono delle due seguenti proprietà, entrambe caratteristiche: 1. ciascuna di esse è perpendicolare a sé stessa (cosicché le due rette isotrope uscenti da un qualsiasi punto proprio costituiscono gli elementi doppî nella involuzione delle coppie di rette ortogonali per quel punto); 2. sono di lunghezza nulla (cosicché si dicono anche, col Lie, rette minime).
Il luogo dei punti ciclici dello spazio, pur esso riferito a coordinate cartesiane ortogonali omogenee x: y: z: t e ampliato nel modo indicato dapprincipio per il piano, si chiama cerchio immaginario all'infinito (o assoluto). Esso è definito dalle due equazioni x2 + y2 + z2 = 0, t = 0, e gode della duplice proprietà che ogni superficie sferica passa per esso e, viceversa, ogni superficie del 2° ordine (v. quadriche) passante per esso è sferica.
Di qui consegue che ogni superficie sferica (dotata di puntí reali, cioè di centro proprio e reale e di raggio reale) contiene due sistemi di infinite generatrici isotrope (che stanno alla sfera come a un iperboloide le rispettive generatrici reali).
Infine si dice piano isotropo ogni piano tangente al circolo immaginario all'infinito e cono isotropo di dato vertice proprio x0, y0, z0 il cono di equazione (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = 0, generato dalle rette isotrope passanti per codesto punto.
Le definizioni dianzi date di punti ciclici, di rette isotrope, di cerchio immaginario all'infinito hanno, nell'ambito della geometria metrica euclidea, un senso assoluto. Infatti tutti i movimenti e tutte le similitudini (costituenti nel loro insieme il gruppo fondamentale della geometria metrica euclidea; v. gruppo) lasciano fermo il circolo immaginario all'infinito (pur accadendo che in generale un movimento lo faccia scorrere su sé stesso); e anzi i movimenti e le similitudini sono caratterizzati nel l'insieme di tutte le omografie (gruppo fondamentale della geometria proiettiva) da codesta proprietà di trasformare in sé stesso il circolo immaginario all'infinito. Perciò questo circolo si chiama l'assoluto dello spazio nella geometria metrica euclidea (come subordinata alla geometria proiettiva) e, analogamente, si dice assoluto del piano o della stella la rispettiva coppia di punti ciclici o, corrispondentemente, il rispettivo cono isotropo. Da quanto si è detto consegue che tutte le proprietà metriche delle figure nello spazio, o anche nel piano o nella stella, si possono considerare come proprietà proiettive delle figure stesse riferite al corrispondente assoluto. Sull'importanza di queste considerazioni nello sviluppo storico della geometria, v. geometria.
Bibl.: G. Castelnuovo, Lezioni di geometria analitica, 7ª ed., Roma 1931; A. Comessatti, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, I, Padova 1930; G. Fano e A. Terracini, Lezioni di geom. analitica e proiettiva, Torino 1930.