COMMUTATIVA, PROPRIETÀ

COMMUTATIVA, PROPRIETÀ

È una delle proprietà fondamentali o formali della somma e del prodotto, e si enuncia dicendo che la somma di più addendi e il prodotto di più fattori sono indipendenti dall'ordine in cui si considerano gli addendi o, rispettivamente, i fattori: in simboli, nel caso di due addendi o fattori (cui si può sempre ricondursi),

Essa sussiste incondizionatamente, tanto per la somma quanto per il prodotto, non solo nel campo dei numeri reali, ma anche in quello dei numeri complessi ordinarî.

Si mantiene valida anche per tutte le accezioni e generalizzazioni della somma, che si sono presentate nella matematica, ad es. per la cosiddetta somma geometrica o composizione dei vettori.

Non così per il prodotto. Anzi è stato dimostrato (Weierstrass, 1863) che, oltre il sistema dei numeri complessi ordinarî, non esiste nessun altro sistema di numeri a due o più unità, per il quale si mantengano valide tutte le proprietà fondamentali, che per l'uguaglianza, la somma e il prodotto sussistono nell'aritmetica ordinaria. Comunque si cerchi di estendere il concetto di numero al di là del campo dei numeri complessi ordinarî, si è costretti ad abbandonare, almeno, la proprietà commutativa del prodotto oppure l'altra proprietà, per cui un prodotto non si annulla se non quando sia nullo uno dei fattori. In queste nuove accezioni del prodotto si presenta talvolta, in luogo della proprietà commutativa, la cosiddetta proprietà alternante, per cui il prodotto cambia soltanto il segno, quando se ne scambiano due fattori: cosi accade per il prodotto esterno di due vettori. Se poi si passa a considerare il prodotto in senso operatorio (v. associativa, proprietà) e si denotano, ad es., con S e T due sostítuzioni su n oggetti o due sostituzioni lineari su n variabili o, più in generale, due trasformazioni o anche due operazioni funzionali, accade di regola che ST non coincide con TS. Se ST = TS, le due sostituzioni o trasformazioni od operazioni S e T si dicono permutabili. Ad es., mentre due movimenti rigidi quali si vogliano nello spazio non sono in generale permutabili, tali sono in ogni caso due traslazioni; e son pure permutabili (sotto opportune condizioni qualitative per le funzioni cui si applicano) le derivazioni, anche parziali, di qualsiasi ordine. Infine, qualunque sia la sostituzione o trasformazione od operazione S, sono permutabili fra loro, per la proprietà additiva degli esponenti, tutte le sue potenze S ed anche (quando hanno senso, come accade se S è una sostituzione lineare o, nel campo funzionale, una derivazione) tutte le combinazioni lineari a coefficienti costanti di codeste potenze.

Alla permutabilità delle potenze d'una medesima trasformazione si può riconnettere il fatto che sono fra loro permutabili tutte le trasformazioni d'ogni gruppo continuo ∞¹ (v. gruppo), in quanto sono tutte generabili per iterazione indefinita d'una stessa trasformazione infinitesima (S. Lie).