prodotto scalare

prodotto scalare

prodotto scalare nel contesto dell’ordinario spazio euclideo tridimensionale R³, legge di composizione binaria che associa a ogni coppia di vettori u, v un numero reale. In tale contesto è indicato con u ⋅ v (e più raramente con u × v); esso è uguale al prodotto del modulo dei due vettori per il coseno dell’angolo θ da essi formato: u ⋅ v = |u| ⋅ |v| ⋅ cosθ. Il prodotto scalare è nullo se i due vettori sono perpendicolari oppure uno o entrambi i vettori sono il vettore nullo 0. Se lo spazio è dotato di un sistema di riferimento cartesiano, il prodotto scalare è dato dalla somma dei prodotti delle componenti dei due vettori:

Esso ha molte applicazioni in fisica dove esprime alcune grandezze derivate (il lavoro di una forza lungo uno spostamento è, per esempio, il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento).

Nel contesto più astratto e generale dell’algebra e della geometria, esso è definito in uno spazio vettoriale reale V, come una qualsiasi forma bilineare su V che sia simmetrica e definita positiva, è detto anche prodotto interno ed è indicato con 〈u, v〉, che si legge «u scalare v», oppure con u ⋅ v oppure, come qui di seguito, con (u, v). Un prodotto scalare è perciò una qualsiasi applicazione (…, …): V × V → R che soddisfi le seguenti proprietà, dove u, u₁, u₂, v, v₁, v₂ indicano arbitrari elementi di V e dove a e b indicano arbitrari numeri reali:

• (au1 + bu2, v) = a (u1, v) + b(u2, v)

(linearità nella prima componente)

• (u, av1 + bv2) = a(u, v1) + b(u, v2)

(linearità nella seconda componente) (bilinearità)

• (u, v) = (v, u)

(simmetria)

• (u, u) > 0 per ogni vettore non nullo u

(positività)

Per uno spazio vettoriale su C, la proprietà simmetrica assume la forma

dove il soprassegno indica il complesso coniugato. Uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare è detto spazio vettoriale euclideo. In tale contesto, è il prodotto scalare che permette di definire nozioni metriche in uno spazio vettoriale reale astratto, come quelle di lunghezza e di ampiezza dell’angolo tra due vettori. Se infatti v è un vettore di V, si definiscono allora la sua norma, indicata con il simbolo ‖v‖, come il numero reale ‖v‖ = (v, v), e il suo modulo (vale a dire la sua lunghezza), indicato con il simbolo |v|, come il numero reale |v| = √(‖v‖): tali numeri sono nulli se e solo se v è il vettore nullo 0. Il prodotto scalare di due vettori u e v e i loro moduli sono legati dalla disuguaglianza di → Schwarz: |(u, v) | ≤ |u| ⋅ |v|, dove il segno di uguaglianza vale se e solo se u = λv, per qualche numero reale λ. Grazie alla disuguaglianza di Schwarz, è possibile interpretare il valore

compreso tra −1 e 1, come il coseno dell’angolo convesso tra u e v: tale angolo, compreso tra 0 e π radianti, è pertanto definito mediante l’uguaglianza

La definizione è ben posta perché le funzioni goniometriche possono essere definite indipendentemente da considerazioni metriche attraverso i loro sviluppi in prodotti infiniti. Due vettori u, v di V sono detti ortogonali (rispetto al prodotto scalare considerato) se (u, v) = 0, vale a dire se essi formano un angolo retto; una base di V è detta ortogonale se i vettori che la compongono sono mutuamente ortogonali, è detta invece ortonormale se in aggiunta essi hanno tutti norma 1.

L’esempio base di spazio vettoriale euclideo è quello dello spazio vettoriale V = Rⁿ, con il prodotto scalare canonico definito da

dove u = (u₁, u₂, …, u_n) e v = (v₁, v₂, …, v_n) sono due vettori in Rⁿ: essa è la forma bilineare associata alla matrice identità.