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prodotto infinito

Enciclopedia della Matematica (2013)
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prodotto infinito


prodotto infinito prodotto di un numero non finito di fattori, indicato con l’estensione all’infinito del simbolo di → produttoria (o moltiplicatoria)

formula

che indica il prodotto degli n +1 fattori

formula

I primi prodotti infiniti sono stati utilizzati per ottenere approssimazioni di π. Il primo in assoluto è dovuto a F. Viète, che usando il metodo di Archimede a partire dal quadrato inscritto in una circonferenza, trovò nel 1646 la formula

formula

J. Wallis nel 1655 ottenne la formula che porta il suo nome:

formula

Un prodotto infinito è, quindi, la generalizzazione della nozione di prodotto a un numero infinito di fattori, come le serie lo sono della somma per un numero infinito di addendi. Esso è rappresentato da un’espressione della forma

formula

da intendersi come

formula

Poiché un prodotto si annulla se uno dei fattori (che costituiscono una successione) è nullo, si suppone in genere ∀n (un ≠ 0). Sotto tale ipotesi si dice che il prodotto infinito è convergente (in senso stretto) se il limite indicato è finito e diverso da 0; se tale limite è infinito o nullo si dice che il prodotto diverge (a ∞ o a 0); un prodotto infinito si dice inoltre oscillante se né è convergente né diverge a infinito. Un condizione necessaria per la convergenza è che un → 1 per n → ∞. Tale condizione non è però sufficiente: per esempio, il prodotto

formula

diverge a 0 pur non avendo alcun fattore nullo e pur essendo

formula

Se si pone un = 1 + an, gli an si chiamano termini del prodotto infinito e la condizione necessaria per la convergenza è che an → 0 per n → ∞. Si dimostra che un prodotto a termini positivi converge se e solo se converge la serie

formula

Per un prodotto a termini di segno qualsiasi la convergenza è garantita se e solo se converge la serie

formula

dove N è un indice tale che |an| < 1 per n > N. Le precedenti equivalenze consentono di tradurre al contesto dei prodotti infiniti i criteri di convergenza per serie. Come esempi, sono degni di nota:

formula

che generalizza la formula ottenuta con metodo di → Viète (per pi greco) e, nel campo complesso,

formula

Quest’ultimo sviluppo è un caso particolare di una formula di → Weierstrass, che esprime mediante un prodotto infinito una qualsiasi funzione trascendente intera avente come zeri gli elementi di una successione {cn} di numeri complessi, il cui unico punto di accumulazione sia z = ∞. Un altro importante prodotto infinito, che è ancora un caso particolare della formula di Weierstrass, è

formula

in cui Γ è la funzione gamma di → Eulero e γ la costante di → Eulero (o Eulero-Mascheroni).

Esempi di sviluppi di funzioni come prodotti infiniti

Vedi anche
John Wallis Matematico (Ashford 1616 - Oxford, Inghilterra, 1703). Personalità poliedrica, W. fu insegnante, teologo, e uomo politico, ma la sua impronta maggiore resta per i suoi studi matematici. Si occupò di quadratura delle curve, di coniche, di logica e teoria della definizione. Tra i risultati ottenuti da ... pi grèco Numero (simbolo π) reale, irrazionale e trascendente, che esprime il rapporto tra la lunghezza di una qualunque circonferenza e il suo diametro (π=3,1415926535...). Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Matematico (Osterfeld, Münster, 1815 - Berlino 1897). Prof. all'univ. di Berlino, membro dell'Accademia di Berlino,  fu celebrato dai matematici contemporanei come il più grande analista vivente. Portano il suo nome molti teoremi sia nell'analisi infinitesimale, sia nella teoria delle funzioni. Vita ... anàlisi infinitesimale (o càlcolo) Parte della matematica (detta anche semplicemente analisi matematica) i cui metodi e sviluppi sono fondati sull'operazione di passaggio al limite. Suoi iniziatori sono considerati nel 17° sec. I. Newton e G.W. Leibniz, tuttavia ha avuto il suo sviluppo solo in seguito alla definizione rigorosa ...
Tag
  • FUNZIONE GAMMA DI → EULERO
  • PUNTO DI ACCUMULAZIONE
  • NUMERI COMPLESSI
  • SE E SOLO SE
  • PRODUTTORIA
Altri risultati per prodotto infinito
  • PRODOTTI INFINITI
    Enciclopedia Italiana - IV Appendice (1981)
    Tullio Viola Data una successione d'infiniti numeri, reali o complessi, formiamo la nuova successione con P1 = a1, P2 = a1 a2, ..., Pn = Pn-1 an = a1 a2 ... an-1 an, ... Per evitare ogni possibilità d'equivoco, supporremo che, nella successione [1], non compaiano infiniti an = 0. Il procedimento di ...
Vocabolario
infinito
infinito agg. e s. m. [dal lat. infinitus, comp. di in-2 e finitus, part. pass. di finire «limitare»]. – 1. agg. a. Che non ha principio né fine; che non ha limiti: il tempo i.; lo spazio i.; la misericordia di Dio è i.; i. silenzio (Leopardi)....
prodotto tradizionale
prodotto tradizionale loc. s.le m. Prodotto che nasce da un’antica tradizione, della quale rispetta i dettami; prodotto tipico di una località, di una regione o di una nazione. ◆ Tuttavia è meglio dare ai bambini un prodotto biologico che,...
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