millennio, problemi del

millennio, problemi del

millènnio, problèmi del locuz. sost. m. pl. – Selezione di sette problemi matematici proposti nel 2000 dal Clay mathematics institute (CMI) di Cambridge nel Massachusetts, che ha stanziato per la risoluzione di ognuno di essi un premio di un milione di dollari. I problemi sono stati scelti tra le più importanti questioni che hanno resistito ai tentativi di soluzione nel corso degli anni e dovrebbero servire da guida per i matematici, così come fecero i problemi proposti da D. Hilbert nel 1900. Tra i problemi selezionati solo l’ipotesi di Riemann si trovava tra i 23 problemi di Hilbert. Nel 2002 G.J. Perelman ha presentato una dimostrazione, accettata nel 2006, della congettura di Poincaré, che è finora l’unico dei problemi a essere stato risolto. Tale dimostrazione è valsa a Perelman la Fields medal nel 2006 e il premio da un milione di dollari del CMI, ma egli ha rifiutato entrambi.

Problema P versus NP. – Riguarda la relazione tra le classi di complessità computazionale P, cui appartengono i problemi che possono essere risolti con un algoritmo deterministico in un tempo polinomiale, e NP, cui appartengono i problemi che possono essere verificati (ma non risolti) nello stesso modo. In particolare il problema chiede se tutti i problemi di tipo NP non possano essere trasformati in problemi di tipo P.

Congettura di Poincaré. – Afferma che ogni varietà tridimensionale chiusa semplicemente connessa è omeomorfa a una sfera. Nonostante i numerosi tentativi essa non è stata, totalmente, né provata né dimostrata falsa per tutto il 20° secolo; tuttavia la sua generalizzazione alla dimensione n fu riconosciuta esatta per n≥5 da S. Smale e altri attorno al 1960. La congettura fu inoltre dimostrata in dimensione n=4 dal matematico statunitense M.H. Freedman nel 1982. Nel 2002 G.J. Perelman ha presentato la dimostrazione della congettura di geometrizzazione formulata da W. Thurston, che include come caso particolare quella di Poincaré.

Ipotesi di Riemann. – Afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann hanno parte reale uguale a 1/2. La funzione zeta di Riemann è strettamente connessa alla distribuzione dei numeri primi; il problema ha perciò anche una notevole importanza pratica in relazione alla sicurezza di alcuni codici crittografici.

Congettura di Hodge. – Asserisce che per le varietà algebriche proiettive (particolari tipi di spazio) le unità dette cicli di Hodge sono combinazioni lineari razionali di cicli algebrici. In sostanza, la congettura sonda fino a che punto la matematica riesce ad approssimare la forma di un oggetto complicato con oggetti geometrici più semplici. Nota per molti casi speciali, è molto difficile da trattare tanto più quanto ci si allontana da essi.

Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer. – Considerata una delle questioni fondamentali della matematica contemporanea, afferma che si può stabilire se una curva ellittica ha un numero finito o infinito di punti razionali studiando il comportamento, in un punto, di una funzione a essa associata. Stabilisce quindi una relazione tra le proprietà aritmetiche di una curva ellittica e le proprietà analitiche della funzione associata. Questa congettura è stata dimostrata soltanto in alcuni casi particolari.

Teoria di Yang-Mills. – Il problema chiede di dimostrare che la teoria di Yang-Mills esiste e possiede un gap di massa, cioè che la più leggera delle particelle predette dalla teoria abbia massa strettamente positiva. La teoria di Yang-Mills è una generalizzazione dell’elettromagnetismo di Maxwell ed è alla base dell’attuale Modello Standard della particelle elementari, ma non è ancora rigorosa dal punto di vista teorico.

Equazioni di Navier-Stokes. – È il sistema di equazioni che descrive l’andamento del flusso per un liquido viscoso incomprimibile. Il problema richiede di studiare l’esistenza e la regolarità delle soluzioni. In virtù della loro non linearità, tali equazioni ammettono una soluzione analitica (esatta) solo in casi particolari. Per ottenere soluzioni accettabili in casi più concreti occorre risolvere tale sistema con metodi numerici, spesso implementati con programmi di simulazione al calcolatore.