problemi del millennio
problemi del millennio
problemi del millennio (millennium prize problems) espressione con cui si indica una serie di problemi matematici (7 in tutto) ancora in larga parte irrisolti. Il Clay Mathematics Institute (CMI), fondazione privata no profit con sede nel Massachusetts, fondata nel 1998 dall’imprenditore Landon T. Clay, ha fornito una lista dei «più importanti problemi classici che hanno resistito ai tentativi di soluzione nel corso degli anni» e per ognuno dei quali, a partire dal 2000, ha messo in palio un premio di un milione di dollari destinato a chi risolverà per primo ognuno di tali problemi. Condizione per ricevere il premio è che il risultato sia pubblicato su una rivista specialistica e che siano passati due anni da tale pubblicazione senza che siano stati trovati errori o manchevolezze. I problemi, per i quali si rinvia alle singole voci, sono: 1) l’ipotesi di Riemann sulla distribuzione dei numeri primi: gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann hanno tutti parte reale uguale a 1/2; questo equivale a chiedersi se la distribuzione dei numeri primi all’interno dei numeri naturali segua una legge, e quale; 2) la teoria di Yang-Mills sulle particelle elementari in fisica quantistica, i cui fondamenti matematici presentano ancora problemi da chiarire; 3) problemi P e NP relativi a questioni di complessità di calcolo: consiste nello stabilire se possa esistere una equivalenza tra la classe dei problemi P e quella dei problemi NP; 4) le equazioni di Navier-Stokes relative alla fluidodinamica: descrivono il moto dei liquidi e dei gas; non è ancora possibile risolverle in forma esatta, ma solo in forma approssimata, utilizzando metodi numerici; 5) la congettura di Poincaré relativa alla topologia, consistente nell’affermare che qualsiasi varietà tridimensionale chiusa e semplicemente connessa è omeomorfa a una sfera tridimensionale dello spazio euclideo a quattro dimensioni; intuitivamente significa che le sfere tridimensionali sono gli unici possibili spazi tridimensionali limitati che non contengono buchi; il problema è stato risolto per tutte le dimensioni superiori a 3, e recentemente (2002) anche per la dimensione 3; 6) la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer sulle curve ellittiche: consiste nel determinare il numero di punti razionali di una curva ellittica; in alcuni casi particolari si ha che la curva ha infiniti punti razionali o un numero finito di punti razionali a seconda del comportamento di una certa funzione associata: il problema riguarda la possibilità di stabilire quando una certa classe di equazioni non può essere risolta; 7) la congettura di Hodge sulle varietà proiettive: consiste nel dimostrare se, per varietà algebriche proiettive, i cicli di Hodge sono combinazioni lineari razionali di enti geometrici detti cicli algebrici.
A tutt’oggi [2013] è stata risolta soltanto la congettura di Poincaré dal russo G. Perel’man, che peraltro ha rifiutato il premio.