probabilità

probabilita

probabilità  Secondo la definizione soggettiva, ritenuta la più utile nelle applicazioni economiche, p. è il grado di fiducia attribuito da un individuo, sulla base delle sue informazioni e opinioni, al verificarsi di un evento; essa è misurata in una scala numerica compresa fra 0 e 1.

La probabilità in matematica

Il calcolo delle p. è il settore della matematica che studia le situazioni aleatorie, e in particolare insegna ad attribuire p. a insiemi di eventi in modo che siano rispettati opportuni principi di coerenza. Si sviluppò analizzando problemi collegati a giochi di sorte (distribuzioni di carte, lanci di dadi o di monete). Nel periodo compreso fra il 1500 e il 1720 se ne occuparono, fra gli altri, scienziati del calibro di G. Cardano, G. Galilei, P. de Fermat, B. Pascal, C. Huyghens e G. Bernoulli, il cui testo Ars conjectandi è ritenuto il primo trattato organico di calcolo delle probabilità. Ulteriori sistematizzazioni si devono a P.-S. de Laplace e, nel sec. 20°, a B. De Finetti (impostazione soggettiva), A. Kolmogorov (impostazione assiomatica), P. Lévy, A.A. Markov, K. Ito (teoria dei processi aleatori), punte avanzate di un gran numero di specialisti del settore (➔ anche momenti, funzione generatrice dei). ● Nell’impostazione classica delle origini, centrata sull’analisi dei giochi di sorte, la p. di un evento era definita come il rapporto fra il numero dei casi elementari favorevoli a questo e la totalità dei casi possibili. Premessa logica dell’approccio era la preventiva scomposizione della certezza (evento certo) in un conveniente numero di casi elementari, fra loro incompatibili, giudicati, in base a considerazioni di simmetria, egualmente probabili. Per es., se l’evento da probabilizzare è ‘escono più teste che croci’ nel lancio di 4 monete, effettuato rispettando normali condizioni di simmetria, cioè attribuendo eguale p. a ciascuna delle 2⁴=16 possibili sequenze di risultati (sequenze di teste e croci), basterà tenere conto che quelle che realizzano l’evento sono l’unica sequenza con tutte teste e le 4 con 3 teste e una croce (questa può presentarsi al primo, al secondo, al terzo o al quarto posto). La p. è allora 5∕16. ● Un altro schema di notevole interesse è quello in cui la sequenza degli eventi considerati è interpretabile come una famiglia di eventi analoghi o prove ripetute di uno stesso fenomeno. In tal caso, se risulta che la frequenza relativa, rapporto fra accadimenti verificatisi e totalità degli eventi, osservata su un numero ritenuto sufficientemente grande di casi analoghi, è pari a f, i sostenitori dell’impostazione frequentista propongono di definire tale valore come p. di un ulteriore evento appartenente alla famiglia. Per es., avendo rilevato che su 1000 lanci, effettuati con le stesse modalità, di una moneta della cui perfezione (intesa come eguaglianza delle p. di uscita delle due facce) non abbiamo motivo di dubitare, la faccia testa è stata osservata 460 volte, dovremmo valutare pari a 0,46 (460∕1000) la p. che in un ulteriore lancio si presenti testa. ● Schemi frequentisti sono stati utilizzati nelle applicazioni assicurative per valutare p. di sopravvivenza fino a una certà età, o di decesso entro un certo numero di anni, di individui simili per caratteristiche di età, sesso, condizione lavorativa e dunque trattabili alla stregua di casi analoghi o di prove ripetute di uno stesso fenomeno.

La probabilità in economia

Nelle applicazioni economiche è difficile ricondursi a situazioni che consentano di applicare schemi di simmetria o analogia; è allora conveniente accogliere l’impostazione soggettiva proposta da de Finetti e F.P. Ramsey. Essa considera la p. di un qualsiasi evento come una valutazione numerica, in una scala (0,1), del grado di fiducia riposto da un individuo nel suo verificarsi, sintetizzata a fini operativi dal prezzo, p, che l’individuo attribuirebbe, in condizioni di equità, all’importo unitario esigibile al verificarsi dell’evento. L’equità garantisce che a quel valore l’individuo è disposto ad agire sia da scommettitore (cioè pagare p per ricevere 1 se l’evento si verifica e nulla altrimenti) sia da banco (ricevere p e pagare 1 se e solo se l’evento si verifica). ● L’impostazione assiomatica (perfezionata da A. Kolmogorov) rifiuta di prendere partito per l’una o l’altra delle impostazioni presentate, preferendo definire la p. come una misura precisata su una sigma algebra di eventi (una famiglia di eventi chiusa rispetto alle operazioni logiche di complementazione, riunione e intersezione numerabile) e dotata di opportune proprietà (additiva, non negativa e normalizzata a 1). ● Conviene sottolineare che un nucleo di teoremi fondamentali vale (sia pure con diverse interpretazioni) inalterato in tutte le teorie. Ne fanno parte il teorema delle p. totali e quello delle p. composte. Il loro significato richiede l’introduzione dei concetti di unione (E₁⋂E₂) e intersezione (E₁⋃E₂) di due eventi. Il primo è l’evento vero se e solo se è vero almeno uno dei due di partenza (falso se ambedue sono falsi); l’intersezione è l’evento vero se e solo se sono veri ambedue quelli di partenza (falso se almeno uno è falso). Per il teorema delle p. totali la p. della unione di due eventi incompatibili (al massimo uno se ne verifica) è la somma delle loro p.; in simboli  p(E₁⋂E₂)=p(E₁)+p(E₂). In generale è invece

p(E₁⋂E₂)=p(E₁)+p(E₂)−p(E₁⋃E₂),

valida anche nel caso gli eventi siano compatibili. Il teorema delle p. composte si basa sulla nozione di evento condizionato (subordinato) e di p. condizionata (subordinata). Dati due eventi E e H, si indica con la notazione E/H (se H è l’evento certo, H=Ω, si usa omettere il simbolo del condizionante e scrivere sbrigativamente E/Ω=E) l’evento E condizionato all’informazione: «l’evento H è vero». Esso assume un valore logico (vero se vero E, falso se E falso) solo condizionatamente all’ipotesi che l’evento H sia vero; se H è falso a E/H non è attribuibile alcun valore logico. Si indica con p(E/H) la p. dell’evento E/H, cioè il grado di fiducia (nella solita scala, 0,1) che l’individuo riporrebbe nel verificarsi di E condizionatamente all’informazione che H fosse vero (il ragionamento può essere meramente ipotetico, non è necessario aver preventivamente accertato che H sia realmente vero). Se H=Ω, si ha p(E/Ω)=p(E) cioè la p. assoluta o incondizionata di E. Per il teorema delle p. composte la p. dell’intersezione di due eventi è il prodotto della p. del primo per la p. del secondo condizionata alla verità del primo, p(E₁⋃E₂)=p(E₁)∙p(E₂/E₁). Siccome l’intersezione è commutativa, cioè (E₁⋃E₂)=(E₂⋃E₁), si ha

p(E₁⋃E₂)=p(E₁)∙p(E₂/E₁)=p(E₂⋃E₁)=p(E₂)∙p(E₁/E).

Ne consegue p(E₂/E₁)=(p(E₂)∙p(E₁/E₂))/p(E₁).

Ponendo H=E₂ ed E=E₁ si ha

p(H/E)=(p(H)∙p(E/H))/p(E).

La p(H) è detta p. a priori e p(H/E) p. a posteriori, cioè dopo aver acquisito l’informazione E, spesso legata all’osservazione dell’esito di un esperimento. La p(E/H) è detta verosimiglianza di H per E. Il rapporto p(E/H)/p(E) è il coefficiente moltiplicativo che applicato alla p. a priori genera la p. a posteriori. ● I teoremi della p. totale e composta si estendono senza difficoltà al caso di n eventi per n finito; qualche cautela va adottata nel caso n sia infinito numerabile o continuo. Quando p(E₂/E₁)=p(E₂) l’informazione sulla verità di E1 non modifica la probabilità di E₂; indicando con Ē₁ l’evento negazione di E₁, vero (falso) se E₁ è falso (vero), si prova che allora risulta anche p(E₂/Ē₁)=p(E₂) e p(E₁/E₂)= p(E₁/Ē₂)=p(E₁). In sintesi qualunque informazione sul valore logico di uno dei due eventi non modifica la p. attribuita all’altro; in tal caso i due eventi si dicono indipendenti stocasticamente (in senso probabilistico), cioè la p. di uno di essi non dipende dal valore logico (vero o falso) assunto dall’altro. In queste condizioni di indipendenza risulta p(E₁⋃E₂)=p(E₁)∙p(E₂); la p. dell’intersezione di due eventi indipendenti è il prodotto delle loro p. (teorema delle p. composte per eventi indipendenti). Nelle applicazioni, tale condizione è tradotta in schemi di sequenze di estrazioni da urne contenenti palline di colore diverso (e per il resto indistinguibili) seguite da reimbussolamento dell’ultima estratta; tale azione ha lo scopo di riproporre, qualunque sia l’esito delle precedenti realizzazioni, la composizione iniziale dell’urna e di garantire in tal modo l’indipendenza delle p. attribuite in un’estrazione dall’esito di quelle precedenti. Per es., se l’urna contiene 6 palline bianche e 4 nere, la p. che in consecutive pesche con reintroduzione si verifichi la sequenza BB (bianca la prima, bianca la seconda) è, per il teorema delle p. composte, e grazie all’indipendenza (6/10)(6/10)=36/100. In assenza di reimbussolamento, invece, la p. della sequenza BB è (6/10)(5/9)=30/90. Altri schemi, detti di contagio, prevedono il reimbussolamento della pallina estratta e di una (o in generale di altre r≥1) dello stesso colore di quella estratta. La p. della sequenza BB sarebbe allora (6/10)((6+r)/(10+r)).

Accezioni particolari

La p. di rovina è la p. di fallimento di un’impresa entro un orizzonte temporale dato. Essa si concretizza quando le perdite accumulate superano l’ammontare del capitale proprio. Nei modelli formalizzati si indica con C>0 il capitale libero iniziale e con X_h il risultato aleatorio nell’esercizio h-esimo. Indicando con S_n=ΣX_h quello cumulato nei primi n esercizi, si ha fallimento al tempo n, se n è il primo intero per cui risulta C+S_n≤0. ● La p. neutrale al rischio è la distorsione probabilistica del mondo reale che genera un mondo (detto appunto neutrale al rischio) nel quale il valore atteso, secondo la p. neutrale al rischio, del rendimento di tutte le attività finanziarie eguaglia quello dell’attività non rischiosa. In questo ideale virtuale gli investitori non richiedono un compenso extra per l’assunzione di un rischio. Tale comportamento è tipico di un agente neutrale all’azzardo; ciò spiega la terminologia. In un mondo neutrale al rischio il prezzo corrente di ogni attività negoziata è il valore attuale atteso secondo la p. neutrale al rischio dei prezzi futuri.