PERMANENZA, Principio di

PERMANENZA, Principio di

È un principio costruttivo dell'aritmetica, concepita come teoria formale e simbolica. Al concetto generale di numero si perviene attraverso una serie di estensioni, per cui, partendo dai numeri naturali, si definiscono successivamente i seguenti campi numerici, ciascuno più comprensivo del precedente: numeri razionali (comprendenti gl'interi e i fratti); numeri reali (comprendenti i razionali e gl'irrazionali); numeri reali relativi (comprendenti i reali positivi e i reali negativi); numeri complessi o immaginarî. Nel campo dei numeri naturali la relazione di eguaglianza e le operazioni fondamentali dirette, addizione e moltiplicazione, sono caratterizzate da certe proprietà formali, che costituiscono il fondamento del calcolo aritmetico. Queste proprietà sono: per l'eguaglianza le proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva; per l'addizione le proprietà commutativa e associativa; per la moltiplicazione le proprietà commutativa, associativa, distributiva rispetto alla somma e la legge di annullamento del prodotto. Orbene, il criterio generale delle successive estensioni suaccennate del concetto di numero è fornito dal principio di permanenza delle proprietà formali, in base al quale ogni estensione consiste: 1. nell'attribuire il nome di "numeri" a simboli o complessi di simboli, che nel campo numerico, da cui si parte, non rappresentano numeri; 2. nel definire per questi nuovi numeri la relazione di eguaglianza e le operazioni fondamentali dirette, in guisa che si conservino valide le rispettive proprietà formali.

Questo principio, già prima affacciato da G. Peacock (in Brit. Ass., III, Londra 1834, e in Symbolical Algebra, Cambridge 1845), è stato formulato esplicitamente e, per la prima volta, applicato sistematicamente da H. Hankel nella sua Theorie der komplexen Zahlensysteme, Lipsia 1867.